Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле.

В данном разделе рассмотрим оценки определенных интегралов, а также формулу Ньютона-Лейбница позволяющую вычислять определенный интеграл.

Теорема 1 (об оценке определенного интеграла). Значение определенного интеграла заключено между произведениями наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования, т.е.

m(b-a)< <M(b-a), a<b,

где m и M- соответственно наименьшее и набольшее значения функции f(x) в интервале a;b.

Теорема 2. Если в каждой точке x интервала a;b

(x)f(x)(x),

то

Теорема 3 (о среднем). Внутри интервала интегрирования a;b существует хотя бы одно значение x=,, для которого

.

Формула Ньютона – Лейбница.

Теорема 4. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла:

, где F(x)=f(x) (2)

Равенство (2) называется формулой Ньютона – Лейбница.

Пример. = .

Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

1. Формула интегрирования по частям:

2. Формула замены переменной (подстановки):

Пусть x=(u), тогда справедлива формула

Если в интервале u₁, u₂ функции x=(u), (u) и (u) непрерывны и (u₁)=x₁, (u₂)=x₂, то

Несобственные интегралы.

Когда нами было введено понятие определенного интеграла, мы предполагали, что интервал интегрирования имеет конечную длину, а также необходимым условием интегрируемости является ограниченность функции. На этом занятии мы обобщим понятие определенного интеграла на случаи неограниченного интервала интегрируемости и на случай неограниченной функции. Такие интегралы называются несобственными интегралами. Интеграл по неограниченному промежутку интегрирования называется несобственным интегралом I рода, а интеграл от неограниченной функции – несобственным интегралом II рода.

Несобственным интегралом от функции f(x) в интервале a называется предел интеграла при b, то есть

.

Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся.

С помощью формулы Ньютона – Лейбница получаем

F(b)F(a)=F()F(a) на интервале a,),

F(a)F(-) на интервале a.

Если функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси, то можно рассматривать несобственный интеграл в интервале ()

.

Если оба интеграла в правой части сходятся, то интеграл называется сходящимся.

Если первообразная F(x) известна, то

=F()F(),

где F(+)= , F()= .

Если хотя бы один из этих пределов не существует, то несобственный интеграл расходится.

Пример. Интеграл сходится, так как

Интеграл расходится, так как

Для исследования на сходимость интегралов можно воспользоваться следующим признаком.

Признак сравнения. Пусть для всех x выполнено 0f(x)(x). Тогда: 1) если сходится интеграл , то сходится и интеграл ;

3. если расходится интеграл , то расходится интеграл .

Несобственные интегралы играют важную роль в различных разделах математики и ее приложениях, так, например, интеграл вида называется интегралом Пуассона и играет важную роль в теории вероятности.

Лекция 24