- •Учебная программа дисциплины
- •2. Данные о дисциплине:
- •Пререквизиты:
- •Краткое описание дисциплины
- •График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
- •1.7 Список литературы
- •1.8 Оценка знаний согласно шкале рейтинга
- •1.9 Политика и процедура
- •Учебно-методические материалы по дисциплине
- •2.3 Планы практических занятий
- •Оценка участия в семинарах
- •Планы домашних заданий
- •Содержание домашних заданий
- •Оценка домашних заданий
- •Планы занятий в рамках самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя Содержание заданий для срсп
- •Оценка заданий для срсп
- •Планы занятий в рамках самостоятельной работы студентов
- •Вопросник для коллоквиума
- •Матрицы и операции над ними.
- •Определители и их свойства.
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Векторы. Линейные операции над векторами.
- •Нелиейные операции над векторами. Метод координат
- •Прямая на плоскости.
- •Кривые 2-го порядка.
- •Уравнение плоскости.
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Функция. Действительные числа. Предел функции. Односторонние пределы функции.
- •Элементарные функции
- •Предел функции. Основные теоремы о пределах
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Широко используются следующие два предела
- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции.
- •Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя. Приложения производной и исследование функции.
- •Исследование поведения функции и построение их графиков.
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимтоты.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Интегрирование рациональных функций.
- •Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
- •Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
- •Проведя в точках деления a,b прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки 1,2,…,т, так что
- •Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Приложения определенного интеграла.
- •Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.
- •Частные производные высших порядков
- •Лекции 29. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения I порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Числовые ряды.
- •Признаки сходимости рядов
- •Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды.
- •Свойства степенных рядов.
- •Двойные и тройные интегралы.
- •Векторные и скалярные поля
- •Криволинейные интегралы
- •Случайные события. Определение вероятности.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Формула Бернулли. Предельные теоремы.
- •Случайные величины и их числовые характеристики.
- •Задачи математической статистики. Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •Параметры распределения.
- •Точечные и интервальные оценки.
- •Элементы теории корреляции.
- •Статистическая проверка статистических гипотез.
Нелиейные операции над векторами. Метод координат
Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством
.
Свойства скалярного произведения векторов:
. (переместительное свойство)
.
.
.
. , если
В екторным произведением двух векторов называется вектор, длина которого равна
,где - угол между
векторами .
И который направлен перпендикулярно
векторам Векторы образуют
так называемую правую тройку.
Рис. 1
Вектор находится по формуле:
(5)
Г еометрически равна площади параллелограмма, построенного на векторах
С мешанное произведение векторов , , есть число, определяемое формулой:
Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах
Метод координат.
Аналитическая геометрия изучает геометрические образы алгебраическими методами. Аппаратом аналитической геометрии является метод координат, разработанный Декартом в XVII веке. В основе метода координат лежит понятие системы координат.
Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат.
В прямоугольной системе координат Оху точку М, имеющую координаты х и у, обозначают М(х; у), где х – абсцисса точки, а у – её ордината.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки М1(х1, у1) и М2(х2;у2). Расстояние между ними определяется по формуле:
(1)
Три точки плоскости, не лежащие на одной прямой образуют треугольник.
Теорема. Для любых трех точек А(х1;у1),В(х2;у2) и С(х3;у3), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле
(2)
Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2 и пусть М – любая точка этого отрезка, отличная от точки М2 .
Координаты точки М(х;у) делящей отрезок между точками М1(х1;у1) и М2(х2;у2) в заданном отношении λ, определяются по формулам:
(3)
При λ=1 получаем формулы для координат середины отрезка:
(4)
В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется её расстоянием |ОМ|=ρ от полюса О (ρ–полярный радиус-вектор точки) и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью ОЕ Угол φ считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.
Прямоугольные координаты х и у точки М и её полярные координаты ρ и φ связаны следующими формулами
Лекция 4
Прямая на плоскости.
Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии.
Определение. Уравнение F(x, y)=0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени относительно переменных х и у.
Прямую можно задать одним из следующих уравнений:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k (k – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox)
у=kх+b (1)
Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку
)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Уравнение прямой в «отрезках»
здесь a и b –отрезки, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу соответственно.
Нормальное уравнение прямой
здесь р – длина перпендикулярна, опущенного из начала координат на прямую, a -угол образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Уравнение прямой проходящей через точку , в данном направлении
Общее уравнение прямой
Ax=By+С=0. (7)
Здесь A, B и C постоянные коэффициенты, причем Если какой-то коэффициент равен 0, то получаем неполные уравнения прямой.
А) Если А=0, тогда By+C=0 это уравнение определяет прямую, параллельную оси Ох.
б) Если В=0, то уравнение Ax+C=0 определяет прямую, параллельную оси Оу.
в) Если С=0, то уравнение Ax+By=0 задает прямую, проходящую через начало координат.
Г) Если А=С=0, то уравнение By=0 определяет прямую совпадающую с осью Ох.
Д) При В=С=0 прямая Ах=0 совпадает с осью Оу.
Прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или перпендикулярными.
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y=k1x+b1 и y=k2x+b2 , (8)
то острый угол между прямыми определяется по формулам
. (9)
Если же прямые заданы общими уравнениями
А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, (10)
то угол между ними можно найти по формулам
(11)
Пусть прямые заданы уравнениями (8). Прямые параллельны, если tg a=0, тогда
k2=k1 (12)
условие параллельности двух прямых. Условие перпендикулярности определяет равенство
(13)
Если прямые заданы уравнениями (10), то условия параллельности и перпендикулярности примут вид:
, (14)
А1А2+В1В2=0. (15)
Лекция 5