Элементарные функции

К основным элементарным функциям относятся пять классов функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические.

Лекция 10

Предел функции. Основные теоремы о пределах

Число А называется пределом числовой последовательности {х_n}, если для любого >0 существует номер N=N( )>0, такой, что для всех п>N выполняется неравенство |х_п—A|< . Если А – предел последовательности {х_n}, то это записывается следующим образом

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀. Тогда число А называется пределом функции у=f(х) при х х₀ (в точке х=х₀), если для любого >0 существует = ( )>0, такое, что при 0 <|х—х₀|< справедливо неравенство |f(х)-А|< .

Если А – предел функции f(х) при х х₀, то записывают это так

В самой точке х₀ функция f(х) может и не существовать (f(х₀) не опре­делено). Аналогично запись обозначает, что для любого >0 существует N=N( )>0, такое, что при |х|>N выполняется неравенство |f(х)-А|< .

Если существует предел вида , который обозначают также или f(х₀-0), то он называется пределом слева функции f(х) в точке x₀. Аналогично если существует предел вида (в другой записи или f(x₀+0)), то он называется пределом справа функции f(х) в точке x₀. Пределы слева и справа называются односто­ронними. Для существования предела функции f(х) в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке x₀ существовали и были равны, то есть f(x₀-0)=f(x₀+0).

Справедливы следующие основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Пусть существуют (i=1,…, п). Тогда

Теорема 2. Пусть существуют и Тогда

Эти утверждения сохраняются и при х₀ = .

Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть неопределенности вида - , , и др., которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.

Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Широко используются следующие два предела

1)

2) ,

которые называются соответственно первым и вторым замечательными пределами.

Если (т. Е. для любого >0 существует число >0, такое что при 0< < справедливо неравенство < ), то называется бесконечно малой функцией или величиной при х .

Для сравнения двух бесконечно малых функций и при х находят предел их отношения

(1)

Если С 0, то и называются бесконечно малыми величинами одного и того же порядка; если С=0, то называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с , а - бесконечно малой более низкого порядка по сравнению с .

Если (0< < ), то называется бесконечно малой порядка k, по сравнению с при х .

Если , то бесконечно малые и при х называются эквивалентными (равносильными) величинами и обозначают ~ .

Например, при х ~ , ~ х, ~ х, —1~ ..

Легко доказать, что предел отношения бесконечно малых функций и при х равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций и при х , т.е. верны предельные равенства

Лекция 11.