§5. Площина у просторі

5.1. Загальне рівняння площини та його дослідження

Ах + By + Сz + D = 0 — загальне рівняння площини;

= (А; В; С) — нормальний вектор (перпендикулярний до площини);

D = 0, Ах + By + Сz = 0 — рівняння площини, що проходить через точку О (0; 0; 0);

С = 0, Ах + By + D = 0 — рівняння площини, паралельної осі Оz;

С = D = 0, Aх + Вy = 0 — рівняння площини, що проходить через вісь О_z;

В = С = 0, Ax + D = 0 — рівняння площини, паралельної площині О_уz;

х = 0, у = 0, z = 0 — рівняння координатних площин;

А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀) = 0 — рівняння площини Р, що проходить через точку М₀ (х₀; у₀; Z_p) і має нормальний вектор n = (A; В; С) (рис. 5.1).

х

Рис. 5.1

5.2. Різні види рівнянь площини

Площина в декартовій прямокутній системі координат O_xyz може бути задана рівняннями:

1) — рівняння площини у відрізках на осях, де а, b, с — величини відрізків, що їх відтинає площина на координат­них осях Ox, Oy, Oz відповідно;

2)

=0

— рівняння площини, що проходить через три точки (які не лежать на одній прямій) М₁ (х₁, у₁, z₁), М₂ (х₂; у₂; z₂), M₃ (x₃; y₃; z₃).

Відстань від точки М₀ (х₀; у₀; z₀) до площини Ах + By + Cz + D = 0 визначають за формулою

.

5.3. Кут між двома площинами

Умови паралельності та перпендикулярності двох площин

Кут між двома площинами А₁х + В₁y + C₁z + D₁ = 0 та А₂х + В₂у + C₂z + D₂ = 0 знаходять за формулою

Умова перпендикулярності площин:

= 0

Умова паралельності площин:

.

Дві площини збігаються, якщо справджуються рівності

.

Задачі

1. Задано точки М₁(1;2;-1) і М₂(0;3;1). Скласти рівняння площини, що проходить через точку М₁, перпендикулярно вектору .

2. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М₀(2;-1;4), паралельно площині x–y+2z–3=0.

3. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат, точку N(l;-4;2) і перпендикулярна площині

х–y+2z–3=0.

4. Знайти кут між площинами 3x-4y–z–l=0 і 2x+3y-6z-2=0.

5. Побудувати площину 3x-2y+4z–12=0.

6. Знайти висоту SO піраміди, що задана своїми вершинами S(0;6;0), A(2;1;-1), B(3;0;1), С(3;-1;3).

7. Скласти рівняння площини, що перпендикулярна осі Ох і проходить через точку М₀(2;-1;3).

8. Скласти рівняння площини, що проходить через вісь Ох і точку М(3;2;4).

9. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(-2;3;4) і паралельно площині x+2y-3z+4=0.

10. Знайти відстань між паралельними площинами:

2x-3y+6z+28=0 і 2x-3y+6z-14=0.

11. Скласти рівняння площини, що проходить через три точки: А(5;2;0), В(2;5;0), С(1;2;4).

12. Знайти кут між площинами: 2x-3y+4z-l=0 і 3x-4y-z+3=0.

13. Скласти рівняння площини:

а) що проходить через вісь Oz і точку М( 1; 1; 1);

б) що проходить через вісь Оу і точку М(-2;-3;-4).

14. Скласти рівняння площини, що перпендикулярна до осі Oz і проходить через точку М₀(- 2;-3;-1).

15. Знайти відстань:

а) від точки А(1;-2;1) до площини 10х-2у+11z-10=0;

б) від точки А(2;-3;-2) до площини 6x-7y-6z-124=0.

16. Площина проходить через точку M₁(6;-10;1) і відтинає на осі абсцис відрізок а=-3 і на осі аплікат відрізок с=2. Знайти рівняння цієї площини.

17. Дано дві точки А(3;2;-1) і В(2;-3;1). Знайти рівняння площин, які проходять через точки А і В паралельно координатним осям.

18. На осі Oz знайти точку, рівновіддалену від точки М(1;-2;0) і від площини 3x-2y+6z-9=0.

19. Знайти рівняння площини, перпендикулярної до площини 2x-2y+4z-5=0, яка відтинає на координатних осях Ох та Оу відрізки а=-2, .

20. Знайти рівняння площини, що проходить через точки М₁(1;2;-1) та М₂(- 3;2;1) і відтинає на осі ординат відрізок b=3.