- •Видання здійснено за фінансової підтримки громадської організації „Рада батьків Черкащини”
- •Рекомендовано до друку рішенням Розповсюдження та тиражування
- •Глава 1. Елементи лінійної алгебри
- •§1. Визначники Визначники другого і третього порядків
- •IV. Обчислити визначники накопиченням нулів у рядку чи стовпці
- •V. Розв’язати нерівність
- •§2. Mатриці. Дії над матрицями. Обернена матриця. Ранг матриці
- •2.1. Дії над матрицями
- •2.2. Обернена матриця
- •2.3. Ранг матриці
- •IV. Розв’язати матричні рівняння
- •V. Визначити ранг матриці
- •§3. Системи лінійних рівнянь
- •3.1. Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера
- •3.2. Матричний метод розв'язування систем лінійних рівнянь
- •3.3. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса
- •Глава 2. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії
- •§1 Вектори. Лінійні операції над векторами
- •§2. Скалярний добуток векторів. Проекції вектора. Розкладання вектора за базисом. Лінійна залежність векторів
- •§3. Пряма на площині
- •3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
- •3.2. Загальне рівняння прямої та його дослідження. Пучок прямих
- •3.3. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих
- •3.4. Відстань від точки до прямої
- •§4. Лінії другого порядку
- •4.1. Коло.
- •4.3. Гіпербола, парабола
- •§5. Площина у просторі
- •5.1. Загальне рівняння площини та його дослідження
- •5.2. Різні види рівнянь площини
- •5.3. Кут між двома площинами
- •Відповіді
- •Глава 1
- •§2. I. 1. . 2. Матриці не узгоджені. 3. .
- •Глава 2
- •Список рекомендованої літератури
- •Вища математика
- •18000, М. Черкаси, вул. Смілянська, 2
§3. Пряма на площині
3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
Пряма на площині в декартових координатах може бути задана одним з таких рівнянь:
Ах + By + С = 0 — загальне рівняння прямої;
А (х – х0) + В (у — у0) = 0 — рівняння прямої, що проходить через точку М0 (х0; у0) перпендикулярно до нормального вектора = (А; В) (рис. 3.1);
Рис. 3.1 Рис. 3.2 Рис. 3.3
- рівняння прямої (рис. 3.2), що проходить через точку М0 (х0; у0) паралельно напрямному вектору = (m; n) (канонічне рівняння прямої);
Рис. 3.4 Рис. 3.5 Рис. 3.6
х = х0 + mі, у = у0 + nt (t(- ; )) — параметричні рівняння прямої (рис. 3.3), що у векторній формі мають вигляд ;
- рівняння прямої (рис. 3.4), що проходить через дві задані точки М1 (х1; у1), М2 (х2; у2);
— рівняння прямої у відрізках на осях (рис. 3.5), де а і b — відрізки, що їх відтинає пряма на координатних осях Ох і Оу відповідно;
у = kx + b - рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (рис. 3.6), де k - кутовий коефіцієнт прямої (k = tg); b - величина відрізка, що його відтинає пряма на осі Оу;
у — у0 = k (х — х0) - рівняння прямої, що проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт;
х cos + y sin — р = 0 — нормальне рівняння прямої, де р > 0 - довжина перпендикуляра, проведеного з початку координат на пряму; — кут нахилу цього перпендикуляра до осі Ох.
3.2. Загальне рівняння прямої та його дослідження. Пучок прямих
Рівняння Ах + By + С = 0 називається загальним рівнянням прямої на площині, де А, В - координати вектора нормалі до прямої; С - вільний член:
С = 0 — рівняння Ах + By = 0 визначає пряму, що проходить через початок координат;
В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 — рівняння Ах + С = 0 або х = а - визначає пряму, паралельну осі Оу;
В = 0, А ≠ 0, С = 0 — рівняння Ах=0 або х=0 визначає вісь Оу;
А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0 — рівняння Ву + С = 0 або визначає пряму, паралельну осі Ох;
А = 0, В ≠ 0, С = 0 — рівняння Ву=0 або у=0 визначає вісь Ох;
А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0 — рівняння визначає пряму у = kx + b з кутовим коефіцієнтом .
Пряма Ах + By + С = 0 ділить площину на дві півплощини так, що для координат точок однієї з них справджується нерівність Ах + By +
С > 0, а для координат точок іншої — нерівність Ах + B у + С < 0.
Сукупність усіх прямих, що проходять через одну й ту саму точку, називається пучком прямих, а їх спільна точка — центром пучка.
Якщо через х0 і у0 позначити координати центра, то рівняння
А (х – х0)+ В (у - у0) = 0
визначає довільну пряму пучка.
Рівняння пучка прямих можна записати також у вигляді
(А1х + В1у + С1) + (А2х + В2у + С2) = 0.
Змінюючи від - до + , дістанемо довільну пряму, що проходить через точку перетину прямих
А1х + В1у + С1 = 0 і А2х + В2у + С2 = 0.
3.3. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих
Кутом між прямими l1 і l2 називається кут , на який треба повернути пряму l1 (проти годинникової стрілки), щоб вона сумістилася з прямою l2 (рис. 3.7).
Рис. 3.7
Якщо прямі задано канонічними рівняннями
,
то кут між ними знаходять за формулою
Ознакою паралельності прямих є пропорційність координат напрямних векторів , а умовою перпендикулярності — рівність .
Якщо прямі задано рівняннями з кутовим коефіцієнтом
у = k1x + b1 і у = k2x + b2, то
.
Ознакою паралельності цих прямих буде рівність їх кутових коефіцієнтів k1=k2, а ознакою перпендикулярності - рівність .
Якщо прямі l1 і l2 задано загальними рівняннями
А1х + В1y + С1 = 0,
А2х + В2y + С2 = 0,
то
.
Ознакою їх паралельності є рівність , а перпендикулярності — рівність А1А2 + B1B2 = 0.