4.3. Гіпербола, парабола

Канонічне рівняння гіперболи (рис. 4.3, а) має вигляд

, a>0, b>0.

Рис. 4.3

Параметри 2а, 2b — осі гіперболи; а, b — її півосі; А₁ (—а; 0), А₂ (а; 0) — вершини, осі симетрії О_х і О_у — дійсна і уявна, О(0; 0) — центр гіперболи.

Прямі ± — асимптоти гіперболи.

Точки F₁ (—с; 0) і F₂ (с; 0), де с= , — фокуси гіперболи.

Число - ексцентриситет гіперболи (1 < < ).

Прямі ± - називаються директрисами гіперболи.

Гіпербола, для якої а = b, називається рівносторонньою, її рівняння х₂ - у₂ = а², а рівняння асимптот у = ±х.

Гіперболи (рис. 4.3, б)

i

називаються спряженими.

Дотична до гіперболи у точці М₀(х₀; у₀) визначається рівнянням

.

Рівняння гіперболи (рис. 4.3, в) з центром у точці С (х₀; у₀) має вигляд

,

а рівняння її асимптот

.

Канонічне рівняння параболи

y² = 2рх

(рис. 4.4); р > 0 - параметр параболи; точка O (0; 0) - вершина; вісь О_х - вісь параболи; точка F ( -; 0) - фокус параболи. Пряма директриса параболи; фокальний радіус точки M (х; у) параболи визначається рівністю r = х + .

Рис. 4.4 Рис. 4.5

Рівняння параболи, симетричної щодо осі О_у з вершиною у початку координат (рис. 4.5), має вигляд

x² = 2ру.

Рис. 4.6 Рис. 4.7 Рис. 4.8

Фокус ; y=- директриса; фокальний радіус точ­ки М:

r = у + - (р>0).

Ексцентриситет параболи = 1.

Рівняння

у² = - 2рх і х² = - 2ру (р > 0)

визначають параболи, зображені на рис. 4.6 і 4.7 відповідно.

Дотична до параболи у² = 2рх у точці М₀(х₀; у₀) визначається рівністю уу₀ = р (х + х₀).

Рівняння параболи з вершиною у точці С (х₀; у₀) (рис. 4.8) має вигляд

(y — y₀)² = 2р(х — х₀).

Задачі

1. Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо:

   1. а = 12, b = 5;

   2. 2с = 10, 2а = 6;

   3. 2а = 16, = 1,25;

d) = l,5, 2c = 6.

2. Дана гіпербола 16х²-25у²=400. Визначити довжини осей, координати фокусів і ексцентриситет гіперболи.

3. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої знаходяться на осі Ох симетрично початку координат, якщо дійсна вісь дорівнює 5, а ексцентриситет .

4. Знайти координати фокусів, ексцентриситет і рівняння асимптот гіперболи .

5. Сума півосей гіперболи дорівнює 17, а ексцентриситет . Скласти канонічне рівняння гіперболи і знайти координати її фокусів.

6. Фокуси гіперболи співпадають з фокусами еліпса: 9х²+25у² =225. Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2.

7. Визначити координати фокусів і скласти рівняння директриси параболи у²=24х.

8. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, директриса якої задана рівнянням: х = 3.

9. Дослідити взаємне розміщення параболи у²=х і прямої х+у–2=0.

10. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, фокус якої знаходиться в точці перетину прямої: 3х-2у+5=0 і віссю ординат.

11. Скласти рівняння параболи, яка має фокус F(0;-3) і проходить через початок координат, знаючи, що її віссю є вісь Оу.

12. Скласти рівняння параболи з вершиною в точці О₁(3;-2) і з фокусом в точці F(3;0).

13. Скласти рівняння параболи, знаючи, що вісь ординат є директрисою параболи, а фокус має координати (5;0).

14. Скласти рівняння параболи, якщо її фокус F (7;2) та рівняння директриси х-5=0.

15. В параболу х² = вписано рівносторонній трикутник так, що одна з вершин його збігається з вершиною параболи. Знайти сторону трикутника.

16. Скласти рівняння гіперболи, що проходить через точку А(2;1) і має асимптоти у = .

17. Фокуси гіперболи збігаються з вершинами еліпса , а директриси гіперболи проходять через фокуси цього еліпса. Скласти рівняння гіперболи.

18. Переконавшись, що точка М(10; - ) належить гіперболі , скласти рівняння прямих, на яких лежать фокальні радіуси точки М.

19. Гіпербола проходить через точку М . Знайти фокальні радіуси точки М.

20. Знайти фокальні радіуси гіперболи у точках перетину її з колом х² + у² = 91.