IV. Обчислити визначники накопиченням нулів у рядку чи стовпці

1. 2. .

3. 4. .

5. 6. .

7. 8. .

9. 10. .

11. 12. .

V. Розв’язати нерівність

1. 2. .

3. 4. .

5. 6. .

7. 8. .

§2. Mатриці. Дії над матрицями. Обернена матриця. Ранг матриці

2.1. Дії над матрицями

Прямокутна таблиця чисел , складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді

,

називається матрицею (числовою матрицею розміром т x п).

Коротко матрицю позначають так: , де — елементи матриці. Якщо m=n, то матриця називається квадратною.

Дві матриці та називаються рівними між собою, якщо вони мають однакові розміри ( , ) і рівні відповідні елементи: = . Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначають її буквою О. Квад­ратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожний елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е.

Визначником квадратної матриці називається ви­значник, який складений з елементів матриці і позначається символом det А. Таким чином,

.

Квадратна матриця А називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю: det А ≠ 0.

Сумою С = А + В двох матриць однакового розміру та називається матриця

.

Добутком матриці на число k називається матриця

.

Різниця А — В матриць однакових розмірів визначається як сума матриці А і матриці В, помноженої на (—1):

А — В = А + (—1) В.

Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матри­ці В.

Якщо матриця А узгоджена з матрицею В, то добутком С = АВ матриці на матрицю називається така -матриця, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В:

Матриці А і В називаються переставними, якщо АВ = ВА. Матриця А*=( ) називається транспонованою до матриці А=( ), якщо = .

Квадратна матриця А називається симетричною, якщо А* = А, і косоcиметричною, якщо А* = -А.

2.2. Обернена матриця

Нехай A — квадратна матриця. Матриця A^-1 називається оберненою до матриці А, якщо

АА^-1 = А^-1А = Е.

Теорема. Для існування оберненої матриці А^-1 необхідно і достатньо, щоб матриця А була невиродженою; при цьому

,

де — алгебраїчні доповнення елементів визначника матриці

.

2.3. Ранг матриці

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині виділених k рядків і k стовпців, називається мінором k-го порядку матриці .

Рангом r(А) матриці А називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Крім безпосереднього обчислення мінорів, ранг матриці можна знайти простішим методом, який ґрунтується на тому, що ранг матриці не зміниться, якщо над нею виконати так звані елементарні перетво­рення, а саме:

а) переставити місцями два рядки (стовпці);

б) помножити кожний елемент рядка (стовпця) на один і той самий відмінний від нуля множник;

в) додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.

І. Знайти добуток матриць

1. 2.

3. 4. .

5. 6. .

7. 8.

9. 10. .

ІІ. Довести, що операція множення матриць не комутативна. На прикладі матриць А і В, якщо:

1.

2.

ІІІ. Знайти обернену матрицю до матриць. Зробити перевірку

1. 2.

3. 4. .

5. 6. .

7. 8. .

9. 10. .