- •Видання здійснено за фінансової підтримки громадської організації „Рада батьків Черкащини”
- •Рекомендовано до друку рішенням Розповсюдження та тиражування
- •Глава 1. Елементи лінійної алгебри
- •§1. Визначники Визначники другого і третього порядків
- •IV. Обчислити визначники накопиченням нулів у рядку чи стовпці
- •V. Розв’язати нерівність
- •§2. Mатриці. Дії над матрицями. Обернена матриця. Ранг матриці
- •2.1. Дії над матрицями
- •2.2. Обернена матриця
- •2.3. Ранг матриці
- •IV. Розв’язати матричні рівняння
- •V. Визначити ранг матриці
- •§3. Системи лінійних рівнянь
- •3.1. Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера
- •3.2. Матричний метод розв'язування систем лінійних рівнянь
- •3.3. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса
- •Глава 2. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії
- •§1 Вектори. Лінійні операції над векторами
- •§2. Скалярний добуток векторів. Проекції вектора. Розкладання вектора за базисом. Лінійна залежність векторів
- •§3. Пряма на площині
- •3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
- •3.2. Загальне рівняння прямої та його дослідження. Пучок прямих
- •3.3. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих
- •3.4. Відстань від точки до прямої
- •§4. Лінії другого порядку
- •4.1. Коло.
- •4.3. Гіпербола, парабола
- •§5. Площина у просторі
- •5.1. Загальне рівняння площини та його дослідження
- •5.2. Різні види рівнянь площини
- •5.3. Кут між двома площинами
- •Відповіді
- •Глава 1
- •§2. I. 1. . 2. Матриці не узгоджені. 3. .
- •Глава 2
- •Список рекомендованої літератури
- •Вища математика
- •18000, М. Черкаси, вул. Смілянська, 2
Глава 2. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії
§1 Вектори. Лінійні операції над векторами
В ектором називається напрямлений відрізок. Якщо початок вектора міститься в точці А, а кінець — у точці В, то вектор позначають так: (рис. 2.1). Вектор позначають також малою буквою латинського алфавіту із стрілочкою над нею або жирним шрифтом без стрілочки: , с.
Довжина вектора або називається його модулем і позначається або .
Вектор, довжина якого дорівнює 0 (тобто початок якого збігається з кінцем), називається нульовим; позначається .
Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці.
Одиничний вектор, який має той самий напрям, що й вектор , позначається .
Вектори, які лежать на паралельних прямих (або на одній і тій самій прямій), називаються колінеарними.
Вектори, які лежать на паралельних площинах (або на одній і тій самій площині), називаються компланарними.
Вектори називаються рівними між собою, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і рівні за модулем.
Вектор, колінеарний даному вектору , рівний йому за модулем і протилежно напрямлений, називається протилежним вектором для вектора і позначається - .
Радіусом-вектором точки М відносно точки О називається вектор .
Сумою + двох векторів і називається вектор, напрямлений з початку вектора а в кінець вектора за умови, що кінець вектора і початок вектора збігаються (рис. 2.2, а). Сума кількох векторів — це вектор, який замикає ламану, побудовану з даних векторів (рис. 2.2, б).
Рис. 2.2.
Різницю - векторів , розглядають як суму векторів та — (рис. 2.3).
Рис. 2.3 Рис.2.4
Добутком дійсного числа на вектор називається вектор = = , довжина якого | | = | | | |, а напрям збігається з напрямом вектора при > 0 і протилежний йому при < 0 (рис. 2.4). Якщо = 0, то = .
Задачі
Як повинні бути розміщені вектори і , щоб .
ABCD - паралелограм. М і N - середини його сторін. Розкласти вектор за векторами = і = .
Вектори = і = є діагоналями паралелограма ABCD. Виразити вектори , , і через і .
В ∆АВС проведена медіана AD. Точка D - середина ВС.
Довести, що + = 2 .
У ∆АВС, точка О - точка перетину медіан. Довести, що .
За даними векторами і , побудувати кожний з таких векторів: а) + ; б) - ; в) - ; г) - - .
У ∆АВС проведено медіани AD, BM, CN. Довести рівність + + = .
Яку умову мають задовольняти вектори і , щоб вектор + ділив навпіл кут між векторами і .
Три вектори = , = і = є сторонами трикутника. Через вектори , і виразити вектори, що збігаються з медіанами трикутника , і .
У ромбі ABCD дано вектори-діагоналі = і = . Розкласти за цими векторами усі вектори-сторони ромба: , , і .
У трикутнику ABC проведені медіани AD, BE і СР. Записати вектори , і у вигляді лінійної комбінації векторів і .
Нехай ABC - довільний трикутник, а Е і F - середини сторін АВ і ВС. Виразити вектори , і через = і = .
На площині трикутника ABC знайти таку точку, щоб сума векторів, які направлені із цієї точки до вершин трикутника, дорівнювала нулю.
У трикутнику ABC пряма AM є бісектрисою кута ВАС, причому точка М лежить на стороні ВС. Знайти AM, якщо = , = .
Дано паралелограм ABCD. Точка М лежить на стороні CD. Знайти суму векторів:
+ ;
+ ;
(- ) + DM;
+ BM.
Дано паралелограм ABCD і довільна точка О простору.
Довести, що + = + .
Точки Е і F є серединами сторін АВ і CD чотирикутника (на площині або в просторі). Довести, що .
Дано трикутник ABC. На стороні ВС розташована точка М так, що . Знайти , якщо = , = .
На стороні AD паралелограма ABCD відкладений відрізок , а на діагоналі - відрізок . Довести, що вектори і колінеарні і знайти відношення .
Довести, що сума векторів, які направлені з центра правильного многокутника до його вершин, дорівнює .