2. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь.

2. Якщо прослідкувати за процесом розв’язування рівняння, то можна побачити, що виконуючи різні перетворення, ми замінюємо дане рівняння іншими рівняннями, які більш прості, і робимо це доти, доки не одержимо рівняння, яке ми вміємо розв’язувати. Під час таких перетворень ми можемо розшити чи звузити множину допустимих значень рівняння, що може призвести до втрати коренів чи до появи сторонніх коренів. Для того, щоб знати, які перетворення не призводять до втрати чи появи сторонніх коренів у математиці вводять поняття рівносильних перетворень. Правила, які дозволяють переходити від одного рівняння до іншого, ґрунтуються на понятті рівносильних рівнянь і теоремах про рівносильні рівняння.

Нехай на множині Х задано два рівняння f₁(х)=g₁(х) і f₂(x)=g₂(x). Позначимо через Т₁Х - множину розв’язків першого рівняння, а через Т₂Х - множину розв’язків другого рівняння. Для множин Т₁ і Т₂ можуть існувати такі три співвідношення: Т₁Т₂ або Т₁=Т₂ або Т₁Т₂. Якщо Т₁=Т₂, то такі рівняння і називаються рівносильними.

Означення: два рівняння f₁(х)=g₁(х) і f₂(x)=g₂(x) називаються рівносильними, якщо вони задані на одній множині та множини їх розв’язків співпадають.

Означення: два рівняння називаються рівносильними, якщо вони задані на одній множині та якщо кожен розв’язок першого рівняння є розв’язком другого рівняння і, навпаки, кожен розв’язок другого рівняння є розв’язком першого рівняння.

Означення: Якщо множина розв’язків рівняння є підмножиною множини розв’язків рівняння , то рівняння називають наслідком рівняння .

Іншими словами, - є наслідком рівняння , якщо кожний корінь рівняння задовольняє рівняння . Наприклад, рівняння є наслідком рівняння , бо кожний корінь рівняння є коренем рівняння . Отже, ми можемо дати ще одне означення рівносильних рівнянь.

Означення: два рівняння називаються рівносильними, тоді і тільки тоді, коли кожне із них є наслідком іншого.

Рівняння, множини розв’язків яких порожні, також прийнято вважати рівносильними. Якщо згадати, що рівняння є предикатами, то два рівняння будуть рівносильними, якщо предикати f₁(х)=g₁(х) і f₂(x)=g₂(x) еквівалентні. Для того, щоб з’ясувати, чи рівносильні рівняння, слід перевірити виконання умов наведених означень рівносильних рівнянь. Покажемо, як це робити на прикладі наступної вправи.

Вправа: з’ясувати, чи рівносильні рівняння: 1) 10-2х=3х і 3х-4=2, де хєN; 2) 3x-4=2 і (x+3)(x-2)=0, де хєZ; 3) x²+5=0 і 3x-4=3(x-2), де хєR.

Розв’язання:

У першому випадку рівняння задані на одній множині, а коренем першого рівняння є х=2, а коренем другого – х=2. Отже, рівняння рівносильні. У другому випадку рівняння також задані на одній множині. Перше рівняння має корінь х=2, а друге – має два корені х=-3 і х=2. Отже, рівняння не рівносильні. У третьому випадку множини допустимих значень рівнянь співпадають, але перше рівняння має два корені х=-√5 і х=√5, а друге - не має коренів. Отже, рівняння не рівносильні.

Найпростіше за все знайти розв’язок рівняння х=а. Саме тому при розв’язуванні рівняння їх заміняють рівносильними рівняннями, але такими які мають простіший вид. У певних випадках рівняння заміняють диз’юнкцією чи кон’юнкцією рівнянь, множина розв’язків яких збігається із множиною істинності рівняння. При розв’язуванні інколи доводиться переходити від одного рівняння до нерівносильного йому, тобто до його наслідку. В таких випадках множина розв’язків розширюється і потрібна перевірка знайдених коренів. Щоб не робити перевірки кожний раз, потрібно розглянути теореми про рівносильність рівнянь.

Теорема 1: Якщо вираз φ(х) визначений для всіх хєХ, то рівняння f(х)=g(х) (І) і f(х)+φ(х)=g(х)+φ(х) (ІІ) рівносильні.