3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.

3. У математиці доволі часто доводиться формулювати, а потім і доводити, певні твердження. Серед них виділяють принаймні дві групи тверджень. До першої відносять аксіоми, під якими розуміють твердження, справедливість яких приймається без доведення. Як правило, аксіоми використовуються при побудові математичних теорій. При цьому використовують не одну, а цілу систему аксіом, яка повинна задовольняти певні вимоги (повнота, несуперечливість, незалежність). Більш детально з аксіомами та вимогами до системи аксіом ми будемо знайомитися при подальшому вивченні курсу математики у внз. Так, із шкільного курсу геометрії відомо про систему аксіом геометрії, яка містить п’ять груп аксіом. Не можна стверджувати, що аксіоми не потребують доведення в силу своєї очевидності. Наприклад, історія розвитку геометрії дає підстави твердити, що протягом кількох століть вчені не припиняли спроб довести аксіому паралельності, тобто її істинність була далеко неочевидною. Так само, далеко неочевидними є значна частина аксіом, які використовуються при побудові інших математичних теорій. Таким чином, аксіома – це твердження, яке приймається без доведення, але його справедливість перевірена багатовіковим досвідом людства, причому воно весь час виявлялося істинним.

Означуване поняття

(ромб)

видове поняття

Паралелограм

(родове поняття)

Видова відмінність

(мати рівні сторони)

= +

ромб

Схема № 2.1. Структура означення через найближчий рід та видову відмінність.

Другу групу складають твердження, які прийнято називати теоремами. Кожна теорема потребує доведення. Існують різні види теорем. Так, теореми існування доводяться для того, щоб показати, що певний математичний об’єкт існує. Теореми єдиності засвідчують однозначність того чи іншого математичного об’єкту, наприклад теореми про єдиність (однозначність) арифметичних операцій, без яких не можна було одержувати однакові результати цих операцій. Теореми, які називають ознаками, дають можливість відносити той чи інший об’єкт до певного класу або робити висновки, не виконуючи певних дій. Так, наприклад, говорять про ознаки паралельності прямих, про ознаки паралелограма, про ознаки подільності чисел тощо.

Модуль 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.». Змістовний модуль 2.2. «Висловлення та предикати.».

ПЛАН.

1. Поняття висловлення, їх види (елементарні, складені, рівносильні) та позначення.

2. Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.

3. Операція заперечення над висловленнями та предикатами. Таблиці істинності. Основні властивості (закони) операції заперечення.

4. Операція кон’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції кон’юнкції.

5. Операція диз’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції диз’юнкції.

6. Операція імплікації над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції імплікації.

7. Операція еквіваленції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції еквіваленції.

8. Логічні формули. Порядок виконання логічних операцій у формулах. Рівносильні формули. Тотожньо істинні формули (логічні закони).

ЛІТЕРАТУРА: [1] – с. 51-92. [2] – с. 3-11, 96-126. [3] – с. 79-168.