Модуль ііі. «різні підходи до побудови арифметики цілих невідємних чисел». Змістовний модуль 3.3. «Натуральне число як результат вимірювання величини.». План.

1. Поняття натурального ряду чисел та його відрізка. Лічба елементів скінченої множини. Порядкові і кількісні натуральні числа.

2. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.

3. Означення операцій додавання і віднімання чисел, що розглядаються як міри відрізків. Трактування множення і ділення, які розглядаються як міри відрізків.

ЛІТЕРАТУРА: [1] – c. 124-140; [2] – с. 193-200; [3] – с. 197-229.

1. Поняття натурального ряду чисел та його відрізка. Лічба елементів скінченої множини. Порядкові і кількісні натуральні числа.

1. У математиці доволі часто зустрічаються з такими поняттями як «натуральний ряд чисел», «відрізок натурального ряду чисел», «лічба елементів скінченної множини», «операція лічби», «кількісні натуральні числа», «порядкові натуральні числа» тощо. Для однозначного трактування вказаних понять приймемо наступні означення.

Означення: Множину натуральних чисел, упорядковану за допомогою відношення “менше”, називають натуральним рядом чисел.

Означення: Множину цілих невід’ємних чисел, упорядковану за допомогою відношення “менше”, називають розширеним натуральним рядом чисел.

Означення: Відрізком натурального ряду чисел N_m називається множина всіх послідовних натуральних чисел, які не перевищують натурального числа m.

Людині у процесі практичної діяльності доводиться часто визначати чисельність деякої множини. Робиться це з допомогою операції лічби.

Означення: Лічбою елементів множини М називається операція встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною М і відрізком натурального ряду N_m.

Під час лічби слід дотримуватися наступних правил: 1) жоден елемент при лічбі не може бути пропущеним; 2) жоден елемент при лічбі не може бути порахований кілька разів; 3) лічити можна у будь-якому порядку. В результаті лічби ми отримуємо відповідь на запитання “скільки?”, тобто використовуємо кількісні натуральні числа: один, два, три, чотири тощо. Ці числа ми отримуємо при побудові теорії цілих невід’ємних чисел у кількісній або теоретико-множинній теорії. Якщо вказано порядок лічби, то виконання цієї операції вимагатиме використання порядкових натуральних чисел: перший, другий, третій, четвертий тощо. Такі числа ми отримуємо при побудові теорії цілих невід’ємних чисел на аксіоматичній або порядковій основі. Таким чином, порядкові натуральні числа дають відповідь на запитання “який по порядку?”. Разом з тим, останній із названих порядкових числівників дає відповідь на запитання «скільки?», наприклад: сьомий, отже, предметів сім.

2. Порівняння відрізків, дії над відрізками. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.

2. Ми розглянули кількісну (теоретико-множинну) і аксіоматичну (порядкову) теорії цілих невід’ємних чисел. У практичній діяльності людини ці числа використовуються для лічби. Кількісна теорія дає можливість з’ясувати, скільки є елементів в деякій скінченій множині, а порядкова теорія дозволяє встановити в множині певний порядок і з’ясувати, яким по порядку розміщується той чи інший елемент. Виявляється, що у практичній діяльності людини доводиться, чи не частіше, виконувати операцію вимірювання величин (довжина, маса, площа, об’єм тощо). Для цього теж доводиться користуватися цілими невід’ємними числами. З цією метою в математиці відповідно до практичних потреб людини довелося побудувати ще одну теорію цілих невід’ємних чисел. У цій теорії ціле невід’ємне число розглядається як результат вимірювання величини. Розкриємо сутність цієї теорії на прикладі натурального числа як результату вимірювання довжини відрізків.

Якщо є два відрізка a і b, то порівняти їх можна двома способами: 1) безпосередньо, накладанням; 2) опосередковано, за допомогою третього відрізка. У другому випадку досить часто використовують так званий одиничний відрізок (позначають е). Сутність процесу вимірювання за допомогою одиничного відрізка полягає в тому, що ми послідовно відкладаємо його на заданому відрізку. При цьому можливі два випадки:

1) після деякого відкладання кінець одиничного відрізка співпав з кінцем заданого відрізка. В цьому випадку процес вимірювання закінчується і довжина відрізка виражається натуральним числом, яке показує, скільки разів одиничний відрізок вміщається в даному відрізку. Це число і називають мірою заданого відрізка при заданому одиничному відрізку е. Символічно це позначають так: m_e(a). Цей запис читають так: міра відрізка а при одиничному відрізку е або m від a при одиничному відрізку е. Так символічний запис m_e(a)=k означає, що одиничний відрізок е вмістився у даному відрізку k разів;

2) після деякого відкладання одиничного відрізка на заданому відрізку залишиться відрізок, менший, ніж одиничний. У цьому випадку результат вимірювання в загальному випадку не буде виражатися натуральним числом і процес вимірювання не буде закінчуватися. Результатом порівняння довжин двох відрізків може бути один із трьох випадків: 1) а=b; 2) аb; 3) аb. Вказані випадки можна проілюструвати на наступних малюнках №№ 3.2-3.4.

а

А

О в В

Малюнок № 3.2. Відрізки ОА=а і ОВ=b рівні.

а А

О в В

Малюнок № 3.3. Відрізок ОА=а більший за відрізок ОВ=b (а>b).

а А

О в В

Малюнок № 3.4. Відрізок ОА=а менший за відрізок ОВ=b (а<b).

Таким чином, на множині відрізків ми задали відношення рівності відрізків, яке має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності, тобто є відношенням типу еквівалентності, та відношення “менше” (“більше”), яке є відношенням строгого порядку. Як відомо із шкільного курсу математики, над відрізками можна виконувати операції: а) додавання та віднімання відрізків; б) множення та ділення відрізка на натуральне число. Визначимо ці операції над відрізками.

Означення: відрізок а є сумою відрізків а₁, а₂, а₃, ..., а_n, якщо вони лежать на одному й тому ж самому промені, не мають жодної спільної внутрішньої точки та кінець кожного попереднього відрізка є початком наступного.

Операція додавання відрізків підкоряється комутативному (переставному) та асоціативному (сполучному) законам. Щоб побудувати відрізок, який є сумою відрізків а₁, а₂, а₃, ..., а_n потрібно на довільній прямій від довільної точки послідовно відкласти один за одним задані відрізки, а тоді відрізок, який знаходиться між обраною точкою та кінцем останнього із відкладених відрізків, і буде сумою відрізків а₁, а₂, а₃, ..., а_n. Проілюструємо це за допомогою наступного малюнка № 3.5.

а₁ а₂ а₃ …. а_n

а₁+а₂+а₃+...+а_n

Малюнок № 3.5. Сума відрізків а₁, а₂, а₃, ..., а_n.

Операцію віднімання відрізків визначимо з допомогою наступного означення.

Означення: різницею двох заданих відрізків а та b називають такий третій відрізок с=а-b, який в сумі з відрізком b дає нам відрізок а, тобто (а-b)+b=а.

Щоб побудувати різницю двох відрізків, потрібно на довільній прямій від довільної точки відкласти відрізок а і від одного із його кінців відкласти відрізок b. Тоді різницею а-b двох відрізків а і b буде відрізок, що залишиться. Проілюструємо це з допомогою наступного малюнка № 3.6.

а

b а-b