Аналитическая геометрия

Пример 1. Как приложение метода координат для определения местоположения точки, рассмот­рим такой пример.

Местоположение люка подземного кабеля или водопровода определяют координатами, нанесенными на табличку, укрепленную где-либо на видном месте, считая саму табличку началом координат (рис. 1). Это особенно удобно зимой, когда земля покрыта снегом и найти люк другим путем становится за­труднительно.

Пример 2. На практике часто пользуются понятием уклона, для того чтобы охарактери­зовать положение прямой, т.е. степень ее наклона к горизонтальной плоскости. Так, профиль пути (шоссейного или железнодорожного) можно полностью охарак­теризовать указанием величины k и длиною участка, на котором k практически сохраняет постоянное значение. В пределах каждого такого участка путь считаем прямолинейным.

В качестве примера начертим профиль пути, определенный такими данными:

к=0,12 на участке 0 — 2,0 км »

к=0,2 2,0-- 3,2 км

к=0,05 3,2-5,3-

к=0 5,3 км 7,2 км

к=-0,17 7,2-12,4 –

к=0,16 12,4 км - 15,0 км

Для того чтобы изобразить первый участок, т. е. провести прямую с уклоном откладываем от начала координат по оси х 100 произвольных единиц, в конце этого отрезка восставляем перпендикуляр высотою в 12 таких же единиц и полученную точку соединяем с началом. Другими словами, мы должны построить прямоугольный треугольник с катетами 100 и 12. Тогда его гипотенуза будет иметь уклон k = 0,12 по отношению к катету 100. Остальные участки строим аналогично. Весь профиль пути изображен на рис. 17, причем положитель­ным значениям k соответствуют подъемы, а отрицательным k — спуски. При k = 0 путь идет горизонтально.

Упражнения

1. Определить k, если известно, что точка, которая продвинулась на 500 м, получила превышение над начальной точкой, равное 7, —5 и 13,2 м.

2. Вычертить профиль пути, для которого

k = 0,18 на участке 0— 2 км

k = 0 » » 2—3 км

k = —0,13 » » 3—5 км

k = 0 » » 5 — 8 км

k = 0,07 » » 8— 12км

Пример 3. Построение эллипса. Применение эллипса в технике

Рассмотрим некоторые, наиболее простые способы построения эллипса.

I. Способ садовников. Закрепим в точках F и F две булавки и набро­сим на них петлю из нерастяжимой нити (рис. 41). Если теперь, натягивая нить при помощи карандаша, перемещать его, то нить принудит карандаш пройти только через те точки плоскости, сумма расстояний которых от двух задан­ных точек F и F постоянна (суммарная длина нити 2с постоянна, но расстояние 2с не изменяется, так что г + г = const).

Следовательно, карандаш, замкнув свой путь, вычертит на бумаге эллипс. Этим способом обычно пользуются садовники при вычерчивании эллипсовидных клумб, откуда и произошло его название.

Два эллипса с равными полуосями (а' = а"; b' = b") посажены на оси, прохо­дящие соответственно через фокусы F' и F " первого и второго эллипсов. Совме­стное вращение двух тел возможно лишь в том случае, если сумма расстояний от осей вращения точек, которым надлежит войти в соприкосновение, постоянна и равна расстоянию между осями F' F " Если эта сумма больше F' F ", произойдет заклинение, если же она меньше F' F ", не насту­пит сцепление.

Это условие выполняется для двух кругов любых радиусов и, как легко убедиться, для двух одинаковых эллиптических колес а' = а"; b' = b", для которых в любой мо­мент вращения

r' + r" = 2а' = 2а" = const. Но при вращении эллиптических колес, если увеличивается r' , то r" уменьшается, и наоборот. Так что, приведя в равномер­ное вращение колесо I, получим периодически ускоряющееся и замедляющееся вра­щение колеса II. Этим свойством эллиптических колес пользуются в станках (или других устройствах), где необходим медленный, но мощный рабочий ход и ус­коренный холостой ход, как, например, в строгальных и долбежных станках, в прессах и т. д.

Пример 4. В курсе «Сельхозмашин» важными эксплуатационными характеристиками работающего на склоне трактора, показывающими его устойчивость, являются угол продольного наклона и угол поперечного крена.

Будем рассматривать для простоты колесный трактор. Поверхность, на которой работает трактор (по крайней мере, ее достаточно малую часть), можно считать плоскостью (плоскость движения). Продольной осью трактора называется проекция прямой, соединяющей середины передней и задней оси, на плоскость движения. Углом поперечного крена называется угол, образованный с горизонтальной плоскостью прямой, перпендикулярной продольной оси и лежащей в плоскости движения.

При изучении в курсе математики темы «Прямые и плоскости в пространстве» можно рассмотреть задачи:

а) Найти угол продольного наклона трактора, движущегося по склону, если известен угол подъема склона и угол отклонения траектории трактора от продольного направления.

б) Предельным углом поперечного крена трактора называется наибольший допустимый угол наклона склона, поперек которого может стоять трактор, не опрокидываясь. Какие параметры трактора достаточно знать для определения предельного угла поперечного крена; как найти этот угол?