4. Найдем координаты точки м(хм;ум) – пересечения высоты cd и медианы ве, решив систему их уравнений методом Крамера:

• Вычислим определители системы и неизвестных , _х, и _у.

• Найдем решение системы по формулам Крамера:

х_М ; у_М =

П роверка: (верно).

М (9;-3) -точка пересечения высоты CD и медианы ВЕ.

Самостоятельная работа

Задание 1.

1. Даны две точки М(2;-3) и N(4;5). Найти: 1) длину MN; 2)С(х_с;у_с) –середину MN; 3)записать уравнение прямой MN, 4) найти k- угловой коэффициент и b-отрезок оси Оу, отсекаемый прямой.

2. Найти уравнение прямой, параллельной прямой 4х - 6у - 8 = 0 и проходящей через точку (3; -1).

3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (—2; 3) пер­пендикулярно к прямой —5х + 7у + 2 = 0.

4. Составить уравнения прямых, проходящих через заданную точку K(-1;3) параллельно и перпендикулярно прямой, заданной уравнением: 2х+4у-3=0.

5. Найти угол между прямыми 3х + у— 5 = 0 и у = 2х + 4.

6. Даны прямые 2х — 3у + 7 = 0 и х + 2у — 3 = 0. Найти угол между ними. Изменится ли величина этого угла, если в заданных уравнениях изменить значения свободных членов C = 7 и С = - 3, взяв, например, С = - 5 и С = + 8?

7. Треугольник ABC задан координатами своих вершин А(— 1; —3), 1), С (2; 5). Найти уравнение высоты, опущенной из вершины С

8. Треугольник М М М задан координатами своих вершин М (5;6), М (1; 2); М (7; 4). Найти точку пересечения его медиан.

* Эта точка совпадает с центром тяжести треугольника, точнее, треугольной пластины постоянной толщины, вырезанной из однородного материала.

9. Найти точку пересечения каждой из следующих пар прямых:

а) 3х — 5у + 10 = 0 и 2х + 7у — 8 = 0,

б) 3х — 5у + 4 = 0 и 6х — 10у — 15 = 0,

в) — 7х + 2у— 12 = 0 и 4х— 11у + 13 = 0.

10. Дан треугольнике с вершинами М (2;5), N(-3;6), K(4;-3). Записать уравнения 1) стороны MK, 2) высоты KD и 3) медианы NЕ, 4) Найти координаты точки P(х_p;у_p) – пересечения высоты KD и медианы NЕ.

11. Треугольник М М М задан координатами своих вершин М (-3; 4), М (4; 3), М (0; -5). Определить точку пересечения перпендикуляров, проходя­щих через середины сторон.

ЗАНЯТИЕ 3.

Тема: ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Пример 1. Привести к каноническому виду, определить параметры и построить линию, заданную уравнением: 4х² + у² + 24х - 4у + 4 = 0.

Решение:

1. Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого сгруппируем члены с координатами х и у и дополним их до полных квадратов:

4(х²+2*3х+9-9)+(у²-2*2у+4-4)+4=0  4(х+3)²-36+(у-2)²-4+4=0 

4(х+3)²+(у-2)²=36. Разделим обе части уравнения на 36 и получим каноническое уравнение линии:

.

Это эллипс со смещенным центром вида: ;

2. Найдем параметры: -малая полуось на оси Ох;

- большая полуось на оси Оу;

- фокусное расстояние;

= - эксцентриситет.

Фокусы F₁(0;5.2) и F₂(0;-5.2) лежат на большой оси, совпадающей с осью ординат Оу, симметрично на расстоянии с=5.2 относительно начала координат.

Найдем координаты смещенного центра С(х₀;у₀): х-х₀=х+3, тогда х₀ = -3;

у-у₀=у-2, тогда у₀ = 2, следовательно С(-3;2) – смещенный центр.

3. Для построения эллипса перейдем к вспомогательной системе координат Сх₁у_1, приняв за новые координаты: х₁=х+3; у₁=у-2. Тогда во вспомогательной системе координат получим уравнение эллипса с несмещенным центром: .

Э

у₁ у

В₁ +6

F₁ +5,2

А₂ А₁

-3 С(-3;2) +3 х₁

-3 О х

F₂ - 5,2

В₂ - 6

тапы построения такого эллипса с несмещенным центром во вспомогательной системе координат аналогичны вышеописанным этапам предыдущего примера:

• с троим основную и вспомогательную системы координат Оху и Сх₁у₁;

• н а координатных осях вспомогательной системы откладываем симметрично относительно начала координат малую и большую полуоси (а=3, в=6) и показываем вершины эллипса А₁,А₂,В₁,В₂;

• ч ерез вершины эллипса параллельно координатным осям строим осевой прямоугольник;

• вписываем эллипс в осевой прямоугольник;

• на большой оси, совпадающей с осью Су₁, симметрично относительно начала координат на расстоянии с=5.2 показываем фокусы F₁(0;5.2) и F₂(0;-5.2).