- •§41. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.
- •§42. Условия квазистационарности поля.
- •§43. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля.
- •§44. Функция Грина уравнения Гельмгольца.
- •§45. Уравнения Максвелла электромагнитных волн в вакууме.
- •§46. Волновое уравнение в случае вакуума.
- •§47. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.
- •§48. Плоская монохроматическая волна.
- •§49. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.
- •§50. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам.
- •§51. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение.
- •Экзаменационные вопросы по курсу «Теоретическая механика и теория поля».
- •Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля .
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение (от а.Е.Широкова)
§48. Плоская монохроматическая волна.
Если волна монохроматическая, то - волна одной частоты .
Введём параметр - волновое число.
Введём волновой вектор , направленный по нормали к фронту волны. Тогда:
- плоская монохроматическая волна, идущая вдоль вектора .
§49. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.
Уравнения Максвелла в случае электромагнитных волн в вакууме имеют вид:
Т.к. поля и имеют зависимость , то
где , тогда:
В результате для плоских монохроматических волн операторы:
Тогда уравнения Максвелла для плоских монохроматических волн имеют вид:
вводим единичный вектор , тогда
Тогда векторы создают правовинтовую систему. Здесь - вектор нормали к фронту распространения волны.
§50. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам.
Разложим :
где , а - амплитуда данной монохроматической волны, присутствующей в электромагнитном поле, т.е. это вес волны.
§51. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.
Калибровка Лоренца в случае вакуума:
В случае однородной изотропной среды калибровка Лоренца примет вид:
Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»
-
1 . Наити функцию Лагранжа двойного плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).
2 . Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m2, точка которого (с массой m1 в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.
3. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
4. Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент импульса р и момента импульса материальной частицы.
5. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М.
6. Показать, что
=0, ,
где φ – любая скалярная функция координат и импульса частицы.
7. Показать, что
= ,
где f – векторная функция координат и импульса частицы, а n – единичный вектор в направлении оси z.
8. Выразить амплитуду и начальную фазу колебаний через начальные значения x0, v0 координаты и скорости.
9 . Найти частоту колебаний точки с массой m, способной двигаться по прямой и прикреплённой к пружине, другой конец которой закреплён в точке А на расстоянии l от прямой. Пружина, имея длину l, натянута с силой F.
1 0. Найти частоту колебаний изображенного на рисунке 4 маятника, точка подвеса которого (с массой m1 в ней) способна совершать движение в горизонтальном направлении.
1 1. Определить малые колебания двойного плоского маятника.
12. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.
13. Вычислить где p – постоянный вектор.
14. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, вычислить интегралы:
если объем, который охватывает замкнутая поверхность, равен V; A – постоянный вектор.
15. Определить напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного шара . Объемная плотность заряда равна , радиус шара R.
16. Определить коэффициенты разложения потенциала точечного заряда в интеграл Фурье.
17. Найти потенциал, создаваемый зарядом, распределенным в бесконечной среде по закону :
18. Определить потенциал точечного заряда е, находящегося в однородной анизотропной среде с заданным тензором диэлектрической проницаемости.
19. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндрической полости цилиндрического проводника, по которому течет ток, равномерно распределенный по его сечению с плотностью j. Оси цилиндра, образующего полость, и цилиндрического проводника параллельны и находятся друг от друга на расстоянии а.
20. Показать, что постоянное однородное магнитное поле В можно описывать векторным потенциалом А= .
21. Найти интенсивность излучения частицы массы m, движущейся по круговой орбите радиуса а, под действием кулоновских сил. Выразить ответ через энергию частицы.