МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
В СЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Кафедра «Финансы и кредит» Контрольная работа по дисциплине: «Финансовая математика»
на тему: «Вариант №4»
Исполнитель:
Руководитель: Белолипцев И.И.
Уфа-2010
Содержание
Задача №1………………………………………………………………………….3
Задача №2………………………………………………………………………...15
Задача №3……………………………………………………………………..….27
Список использованной литературы…………………………………………...33
Задача 1
В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
квартал |
|
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
28 |
30 |
31 |
33 |
35 |
36 |
38 |
39 |
41 |
43 |
2 |
36 |
38 |
40 |
42 |
44 |
46 |
48 |
50 |
52 |
54 |
3 |
43 |
45 |
47 |
50 |
52 |
55 |
57 |
59 |
62 |
64 |
4 |
28 |
30 |
31 |
33 |
34 |
35 |
37 |
38 |
40 |
41 |
5 |
31 |
32 |
34 |
36 |
37 |
39 |
40 |
42 |
44 |
45 |
6 |
40 |
42 |
44 |
46 |
48 |
50 |
52 |
54 |
56 |
58 |
7 |
49 |
51 |
54 |
56 |
59 |
61 |
63 |
66 |
68 |
71 |
8 |
30 |
31 |
33 |
34 |
36 |
37 |
38 |
40 |
41 |
43 |
9 |
34 |
36 |
37 |
39 |
41 |
42 |
44 |
45 |
47 |
49 |
10 |
44 |
46 |
48 |
50 |
52 |
54 |
56 |
58 |
60 |
62 |
11 |
52 |
55 |
57 |
59 |
62 |
64 |
67 |
69 |
71 |
74 |
12 |
33 |
34 |
35 |
37 |
38 |
40 |
41 |
42 |
44 |
45 |
13 |
39 |
41 |
42 |
44 |
46 |
47 |
49 |
50 |
52 |
54 |
14 |
48 |
50 |
52 |
54 |
56 |
58 |
60 |
62 |
64 |
66 |
15 |
58 |
60 |
62 |
65 |
67 |
70 |
72 |
74 |
77 |
79 |
16 |
36 |
37 |
39 |
40 |
41 |
43 |
44 |
46 |
47 |
48 |
Требуется.
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания .
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;
нормального распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на один год.
Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение.
Основная формула модели Хольта-Уинтерса имеет вид
Здесь k – период упреждения;
– расчетное значение показателя для (t+k) –го периода;
– коэффициенты модели;
L – период сезонности (для квартальных данных L=4);
– прошлогодний коэффициент сезонности того периода, для которого рассчитывается показатель.
Коэффициенты модели уточняются (адаптируются) при переходе от уровня t-1 к новому значению t. Это уточнение производится по формулам:
;
;
.
Здесь - параметры сглаживания.
Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо знать начальные оценки коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности за весь предыдущий год
Зарезервируем для этих величин дополнительно 4 уровня в расчетной таблице и выполним предварительный расчет.
С помощью метода наименьших квадратов
построим вспомогательную линейную модель . Коэффициенты этой модели можно получить с помощью «мастер функций/ статистические/ ЛИНЕЙН» или «сервис/ анализ данных/ РЕГРЕССИЯ».
Уравнение вспомогательной линейной модели запишется в виде
.
Примем , , занесем эти значения в нулевой уровень соответствующих столбцов основной расчетной таблицы.
Для оценки коэффициентов сезонности найдем с помощью вспомогательной модели расчетные значения для и сопоставим их с фактическими
Коэффициент сезонности – это отношение фактического значения показателя к значению, найденному по линейной модели.
Для первого квартала это в первом году и во втором году. В качестве окончательной (более точной) оценки коэффициента сезонности первого квартала предыдущего года возьмем среднее арифметическое значение
.
Аналогично найдем
,
,
.
Полученные значения занесем в соответствующие уровни столбца «F» основной расчетной таблицы.
Перейдем к построению собственно модели Хольта.
Согласно условию задачи коэффициенты сглаживания ; период сезонности .
По основной формуле модели Хольта-Уинтерса, приняв , рассчитаем начальное значение
.
Теперь перейдем к и уточним коэффициенты модели
;
;
.
По основной формуле модели Хольта-Уинтерса при получим
.
Перейдем к и уточним коэффициенты модели
;
;
.
По основной формуле модели Хольта при получим
и т.д. для . Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты , определяется количеством исходных данных и равно 16.
Результаты вычислений приведены в основной расчетной таблице.
Таким образом, модель Хольта-Уинтерса построена.
Оценим точность построенной модели.
Предварительно для каждого уровня исходных данных вычислим остатки и относительные погрешности ; затем определим среднюю относительную ошибку аппроксимации .
Вывод о точности модели делают на основании расчета средней относительной погрешности аппроксимации согласно схеме:
точная удовлетв. неудовл.
0 5% 15%
если , говорят о высокой точности модели;
если , точность модели считают удовлетворительной;
если , точность модели неудовлетворительная.
Дополним расчетную таблицу столбцом :
Средняя относительная погрешность аппроксимации составит
(%) .
Следовательно, относительная ошибка аппроксимации равна 1,57 %, она не превышает 5%, что позволяет сделать вывод о высокой точности модели.
Модель считается адекватной, если для ряда остатков выполняются следующие свойства:
равенство нулю математического ожидания;
случайности;
независимости;
нормального распределения
Для проверки используем критерий Стъюдента, согласно которому
Вычисляем t-статистику , t= 0.449175
где - среднее значение остаточной компоненты;
- среднее квадратичное отклонение для ряда остатков.
Сравниваем полученную фактическую величину с критическим значением .
При n=16 критическое значение tкр.=2,13
Делаем вывод согласно схеме:
не вып. вып. не вып.
0 t
если , то отличие от нуля является незначимым, случайным, проверяемое свойство выполняется;
если , то отличие от нуля является значимым, закономерным, проверяемое свойство не выполняется, модель неадекватна.
Следовательно, 0,449175 < 2.13 отличие от нуля является незначимым, случайным, проверяемое свойство выполняется.
Для проверки используем критерий поворотных точек, в соответствии с которым
Подсчитываем фактическое количество р поворотных точек для ряда остатков E(t).
Критическое значение определяем по формуле
,
где - количество уровней ряда,
квадратные скобки в формуле означают целую часть числа.
Сравниваем значения p и pкр и делаем вывод согласно схеме:
не вып. вып.
0 pкр p
если , то свойство случайности уровней ряда остатков выполняется;
если , то ряд остатков нельзя считать случайным, он содержит регулярную компоненту, следовательно, модель не является адекватной.
Подсчитаем количество поворотных точек, их количество равно 10. Ркр.=6. Сравнивая значения, можно прийти к выводу, что свойство случайности уровней ряда остатков выполняется.
Проверку проводим по критерию Дарбина-Уотсона.
Вычисляем статистику .
Сравниваем полученную фактическую величину d с критическими уровнями d1 и d2.
Делаем вывод согласно схеме:
не вып. доп.пр. вып.
0 d1 d2 2 4 d
если , то уровни ряда остатков сильно автокоррелированы, модель неадекватна;
если , то однозначного вывода о зависимости или независимости уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона сделать нельзя, требуется дополнительная проверка;
если , то уровни ряда остатков являются независимыми;
- если , то это свидетельствует об отрицательной корреляции.
В этом случае перед проверкой величину d следует заменить на .
С помощью функций «СУММКВ» и «СУММКВРАЗН» найдем
, .
Таким образом, .
При критические значения d – статистик .
2 < d < 4, => = 4-2.58=1.42
Выполним дополнительную проверку с помощью первого коэффициента автокорреляции.
Вычислим первый коэффициент автокорреляции .
Сравним полученную фактическую величину с критическим значением .
Делаем вывод согласно схеме:
вып. не вып.
0
если , то свойство независимости остаточной компоненты выполняется;
если , то наблюдается существенная автокорреляция уровней ряда остатков, модель неадекватна.
r(1)= |
-0,30919 |
Следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняется, т.к. rкр.=0,32
Для проверки соответствия ряда остатков нормальному закону распределения используется R/S критерий.
Вычисляем статистику = 4,395,
где - максимальный уровень ряда остатков;
- минимальный уровень ряда остатков;
- среднее квадратичное отклонение уровней ряда остатков.
Сопоставляем полученную фактическую величину R/S с критическим интервалом.
Делаем вывод согласно схеме:
не вып. вып. не вып.
критич. инт-л R/S
если критическому интервалу, то гипотеза о нормальном распределении уровней ряда остатков принимается;
если критическому интервалу, то уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению, модель неадекватна.
Критические значения от 3 до 4,21, следовательно, уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению, модель неадекватна
Составим с помощью построенной модели прогноз на один год вперед.
Для первого квартала будущего пятого года положим в основной формуле модели Хольта-Уинтерса и найдем
.
Для второго квартала будущего пятого года при найдем
Для третьего квартала будущего пятого года при найдем
.
Для четвертого квартала будущего пятого года при найдем
.
Исходные данные и результаты всех выполненных расчетов покажем на общем графике.