МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

В СЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра «Финансы и кредит» Контрольная работа по дисциплине: «Финансовая математика»

на тему: «Вариант №4»

Исполнитель:

Руководитель: Белолипцев И.И.

Уфа-2010

Содержание

Задача №1………………………………………………………………………….3

Задача №2………………………………………………………………………...15

Задача №3……………………………………………………………………..….27

Список использованной литературы…………………………………………...33

Задача 1

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

квартал					Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	28	30	31	33	35	36	38	39	41	43
2	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54
3	43	45	47	50	52	55	57	59	62	64
4	28	30	31	33	34	35	37	38	40	41
5	31	32	34	36	37	39	40	42	44	45
6	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58
7	49	51	54	56	59	61	63	66	68	71
8	30	31	33	34	36	37	38	40	41	43
9	34	36	37	39	41	42	44	45	47	49
10	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62
11	52	55	57	59	62	64	67	69	71	74
12	33	34	35	37	38	40	41	42	44	45
13	39	41	42	44	46	47	49	50	52	54
14	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66
15	58	60	62	65	67	70	72	74	77	79
16	36	37	39	40	41	43	44	46	47	48

Требуется.

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания .

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;

• нормального распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на один год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение.

Основная формула модели Хольта-Уинтерса имеет вид

Здесь k – период упреждения;

– расчетное значение показателя для (t+k) –го периода;

– коэффициенты модели;

L – период сезонности (для квартальных данных L=4);

– прошлогодний коэффициент сезонности того периода, для которого рассчитывается показатель.

Коэффициенты модели уточняются (адаптируются) при переходе от уровня t-1 к новому значению t. Это уточнение производится по формулам:

;

;

.

Здесь - параметры сглаживания.

Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо знать начальные оценки коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности за весь предыдущий год

Зарезервируем для этих величин дополнительно 4 уровня в расчетной таблице и выполним предварительный расчет.

С помощью метода наименьших квадратов

построим вспомогательную линейную модель . Коэффициенты этой модели можно получить с помощью «мастер функций/ статистические/ ЛИНЕЙН» или «сервис/ анализ данных/ РЕГРЕССИЯ».

Уравнение вспомогательной линейной модели запишется в виде

.

Примем , , занесем эти значения в нулевой уровень соответствующих столбцов основной расчетной таблицы.

Для оценки коэффициентов сезонности найдем с помощью вспомогательной модели расчетные значения для и сопоставим их с фактическими

Коэффициент сезонности – это отношение фактического значения показателя к значению, найденному по линейной модели.

Для первого квартала это в первом году и во втором году. В качестве окончательной (более точной) оценки коэффициента сезонности первого квартала предыдущего года возьмем среднее арифметическое значение

.

Аналогично найдем

,

,

.

Полученные значения занесем в соответствующие уровни столбца «F» основной расчетной таблицы.

Перейдем к построению собственно модели Хольта.

Согласно условию задачи коэффициенты сглаживания ; период сезонности .

По основной формуле модели Хольта-Уинтерса, приняв , рассчитаем начальное значение

.

Теперь перейдем к и уточним коэффициенты модели

;

;

.

По основной формуле модели Хольта-Уинтерса при получим

.

Перейдем к и уточним коэффициенты модели

;

;

.

По основной формуле модели Хольта при получим

и т.д. для . Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты , определяется количеством исходных данных и равно 16.

Результаты вычислений приведены в основной расчетной таблице.

Таким образом, модель Хольта-Уинтерса построена.

Оценим точность построенной модели.

Предварительно для каждого уровня исходных данных вычислим остатки и относительные погрешности ; затем определим среднюю относительную ошибку аппроксимации .

Вывод о точности модели делают на основании расчета средней относительной погрешности аппроксимации согласно схеме:

точная удовлетв. неудовл.

0 5% 15%

• если , говорят о высокой точности модели;

• если , точность модели считают удовлетворительной;

• если , точность модели неудовлетворительная.

Дополним расчетную таблицу столбцом :

Средняя относительная погрешность аппроксимации составит

(%) .

Следовательно, относительная ошибка аппроксимации равна 1,57 %, она не превышает 5%, что позволяет сделать вывод о высокой точности модели.

Модель считается адекватной, если для ряда остатков выполняются следующие свойства:

1. равенство нулю математического ожидания;

2. случайности;

3. независимости;

нормального распределения

Для проверки используем критерий Стъюдента, согласно которому

1. Вычисляем t-статистику , t= 0.449175

где - среднее значение остаточной компоненты;

- среднее квадратичное отклонение для ряда остатков.

2. Сравниваем полученную фактическую величину с критическим значением .

При n=16 критическое значение tкр.=2,13

3. Делаем вывод согласно схеме:

не вып. вып. не вып.

0 t

• если , то отличие от нуля является незначимым, случайным, проверяемое свойство выполняется;

• если , то отличие от нуля является значимым, закономерным, проверяемое свойство не выполняется, модель неадекватна.

Следовательно, 0,449175 < 2.13 отличие от нуля является незначимым, случайным, проверяемое свойство выполняется.

Для проверки используем критерий поворотных точек, в соответствии с которым

1. Подсчитываем фактическое количество р поворотных точек для ряда остатков E(t).

2. Критическое значение определяем по формуле

,

где - количество уровней ряда,

квадратные скобки в формуле означают целую часть числа.

3. Сравниваем значения p и p_кр и делаем вывод согласно схеме:

не вып. вып.

0 p_кр p

• если , то свойство случайности уровней ряда остатков выполняется;

если , то ряд остатков нельзя считать случайным, он содержит регулярную компоненту, следовательно, модель не является адекватной.

Подсчитаем количество поворотных точек, их количество равно 10. Ркр.=6. Сравнивая значения, можно прийти к выводу, что свойство случайности уровней ряда остатков выполняется.

Проверку проводим по критерию Дарбина-Уотсона.

1. Вычисляем статистику .

2. Сравниваем полученную фактическую величину d с критическими уровнями d₁ и d₂.

3. Делаем вывод согласно схеме:

не вып. доп.пр. вып.

0 d₁ d₂ 2 4 d

• если , то уровни ряда остатков сильно автокоррелированы, модель неадекватна;

• если , то однозначного вывода о зависимости или независимости уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона сделать нельзя, требуется дополнительная проверка;

• если , то уровни ряда остатков являются независимыми;

- если , то это свидетельствует об отрицательной корреляции.

В этом случае перед проверкой величину d следует заменить на .

С помощью функций «СУММКВ» и «СУММКВРАЗН» найдем

, .

Таким образом, .

При критические значения d – статистик .

2 < d < 4, => = 4-2.58=1.42

Выполним дополнительную проверку с помощью первого коэффициента автокорреляции.

1. Вычислим первый коэффициент автокорреляции .

2. Сравним полученную фактическую величину с критическим значением .

3. Делаем вывод согласно схеме:

вып. не вып.

0

• если , то свойство независимости остаточной компоненты выполняется;

• если , то наблюдается существенная автокорреляция уровней ряда остатков, модель неадекватна.

r(1)=

-0,30919

Следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняется, т.к. rкр.=0,32

Для проверки соответствия ряда остатков нормальному закону распределения используется R/S критерий.

1. Вычисляем статистику = 4,395,

где - максимальный уровень ряда остатков;

- минимальный уровень ряда остатков;

- среднее квадратичное отклонение уровней ряда остатков.

2. Сопоставляем полученную фактическую величину R/S с критическим интервалом.

3. Делаем вывод согласно схеме:

не вып. вып. не вып.

критич. инт-л R/S

• если критическому интервалу, то гипотеза о нормальном распределении уровней ряда остатков принимается;

• если критическому интервалу, то уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению, модель неадекватна.

Критические значения от 3 до 4,21, следовательно, уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению, модель неадекватна

Составим с помощью построенной модели прогноз на один год вперед.

Для первого квартала будущего пятого года положим в основной формуле модели Хольта-Уинтерса и найдем

.

Для второго квартала будущего пятого года при найдем

Для третьего квартала будущего пятого года при найдем

.

Для четвертого квартала будущего пятого года при найдем

.

Исходные данные и результаты всех выполненных расчетов покажем на общем графике.