Определение фокусного расстояния собирающей и рассеивающей линз

Приборы и принадлежности: оптическая скамья, осветитель с сеткой, собирающая и рассеивающая линзы, экран, масштабная линейка.

Цель работы: изучить свойства идеальных оптических систем на примере тонких линз.

Теория

1. Общие сведения из геометрической оптики

Если пучок световых лучей, исходящий из какой-либо точки P, в результат отражений, преломлений или изгибаний в неоднородной среде сходится в точке P^’, то точка P^’ называется изображением точки Р.

Изображение Р^’ называется действительным, если световые лучи действительно пересекаются в точке Р^’. Если же в Р^’ пересекаются продолжения лучей, приведенные в направлении, обратном распространению света, то изображение называют мнимым. При помощи оптических приспособлений мнимые изображения могут быть преобразованы в действительные . Например, в нашем глазу мнимое изображение преобразуется в действительное, получающееся на сетчатке глаза.

В геометрической оптике действует принцип обратимости. Согласно этому принципу точку P^’ можно рассматривать как точку предмета, а точку Р - как ее изображение, при условии, если лучи света изменили свое направление на противоположное.

Непрерывная совокупность точек Р, изображаемых оптической системой, называется пространством предметов. Непрерывная же совокупность предметов Р^’, являющихся изображением точек P, называется пространством изображений. Пусть n - показатель преломления пространства предметов, n^’- пространства изображений. Когда изображение действительное, под n^’ следует понимать показатель преломления среды в той точке, где получилось это изображение. В случае мнимого изображения n^’ не всегда совпадает с показателем преломления среды в месте нахождения точки P’. Значение n’ относится к той среде, через которую проходят действительные лучи, продолжение которых пересекаются в точке P’. В случае мнимых предметов значение n также относится к той среде, где распространяются действительные лучи, продолжения которых в сторону, обратную направлению их распространения, сходятся на мнимом предмете.

Предмет называется мнимым, если он получен схождением мысленных продолжений действительных лучей в сторону их распространения, и это схождение происходит в пространстве изображений.

Отражение можно рассматривать совместно с преломлением, но считать при этом n^’= - n.

Важнейшие из оптических инструментов или их составные части относятся к так называемым центрированным оптическим системам. Центрированная оптическая система представляет собой оптически однородные преломляющие или отражающие среды, отделённые одна от другой сферическими поверхностями, центры которых расположены на одной прямой, называемой главной оптической осью системы.

Рассмотрим простейший случай сферической преломляющей поверхности радиуса R, разделяющей среды с показателем преломления n и n^’ (рис.1). Введем правила знаков.

Направление света примем слева направо. В этом случае направление оси OX совпадает с направлением света.

Абсциссы будем отсчитывать вдоль оси OX от точки полюса О (точка пересечения главной оптической оси со сферической поверхностью). Если направление отсчета совпадает с направлением OX (с направлением света), то абсцисса считается положительной, если противоположно, то - отрицательной. Радиус кривизны отсчитывается от точки полюса к центру кривизны. Таким образом, радиус поверхности считается положительным, если направление отсчета совпадает с направлением света (ось OX) в противном случае - отрицательным.

Так по рис. 1: x^’ > 0, x < 0, R > 0.

Ордината отсчитывается вдоль оси OY и считается положительной, если соответствующая точка лежит выше главной оптической оси и отрицательной - если она расположена ниже.

Из соображений симметрии относительно оси OX ось OZ не рассматривается.

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь случай параксиальной оптики, т.е. случай, когда углы  , образованные лучами, исходящими из предмета или изображения и главной оптической осью системы, малы. То есть, можно считать x  u, x^’ = u^’ (рис.1).

Исходя из приближений параксиальных лучей (приосевых лучей) можно вывести формулу преломляющей сферической поверхности в виде:

. (1)

Линза представляет собой среду с показателем преломления n, отделенную от внешней среды двумя сферическими поверхностями. Линза считается тонкой, если ее толщина во много раз меньше расстояния от линзы до предмета и до изображения.

Рассмотрим тонкую линзу в воздухе, ограниченную сферическими поверхностями с радиусами кривизны R₁ и R₂. Пусть точечный предмет P находится на главной оптической оси линзы. Толщиной линзы пренебрежем и поместим начало координат в её центре. Обозначим через x абсциссу точки P, через x₁ - абсциссу её промежуточного изображения P₁, возникающего от преломления лучей на первой поверхности линзы. Абсциссу x₁ можно найти из формулы (1), если в ней сделать замену: n1, n^’n, x^’x₁, RR₁. Тогда:

.

Промежуточное изображение P₁ будем рассматривать как предмет при преломлении света на второй сферической поверхности линзы. Изображение точки P, возникающее при таком преломлении и будет окончательным изображением P^’, которое дает линза. Абсцисса x^’ точки P^’ найдется из формулы (1), если в ней сделать замену: n^’1, xx₁ , RR₂ . Отсюда находим

.

Складывая это равенство с предыдущим, получим:

. (2)

Это хорошо известная формула тонкой линзы

(2^’’)

В параксиальном приближении центрированные оптические системы являются идеальными. Это математически означает, что оптическая система переводит пространство предметов в пространство изображений с помощью дробно-линейного отображения (см. формулы (1) и (2)). Физически это означает, что:

1) любая плоскость пространства предметов изображается в виде плоскости;

2) любая прямая переходит в прямую;

3) любая точка переходит в точку.

Однако у любой идеальной оптической системы существуют две плоскости, называемые фокальными, которые обладают следующими свойствами:

1) любой пучок параллельных лучей при прохождении через систему сойдется в задней фокальной плоскости;

2) любой пучок лучей, вышедший из точки передней фокальной плоскости, после прохождения через систему станет параллельным.

Эти плоскости могут быть действительными (собирающая система), мнимыми (рассеивающая система), а также могут находиться в бесконечности (телескопическая система).

Точка пересечения передней (задней) фокальной плоскости системы с главной оптической осью называется главным передним (задним) фокусом.

Для тонкой линзы в воздухе фокусные расстояния можно определить из формулы:

, (3)

где f₁ - фокусное расстояние пространства предметов, f₂- фокусное расстояние пространства изображений.

По правилу знаков фокусные расстояния отсчитываются от соответствующих главных фокусов до центра линзы. Если направление отсчета совпадает с направлением света, то соответствующее фокусное расстояние положительно, в противном случае - отрицательно.

Обычно фокусное расстояние f тонкой линзы в воздухе определяется формулой:

. (4)

Эта формула справедлива для всяких линз: двояковыпуклых, двояковогнутых, плосковыпуклых и т.д. Надо только придерживаться правила знаков. Для двояковыпуклой линзы R₁ 0, R₂ 0 - поэтому фокусное расстояние f положительно. Для двояковогнутой линзы R₁ 0, R₂ 0 и f - отрицательно.

Величина, обратная главному фокусному расстоянию f₂ пространства изображений, взятая с противоположным знаком (т.е. ) называется оптической силой системы (для случая, когда линза находится в воздухе). Оптическая сила измеряется диоптриями. Диоптрия - это оптическая сила такой системы, фокусное расстояние  f₂  которой равно одному метру. Для собирающих линз оптическая сила положительна, для рассеивающих – отрицательна.

2. Построение изображений в тонких линзах

На рис. 2 показано построение изображения в собирающей линзе.

Для построения обычно берутся три главных луча:

1) луч, проходящий через передний главный фокус (дальше идет параллельно главной оптической оси);

2) луч, параллельный главной оптической оси (дальше идет через задний главный фокус);

3) луч, проходящий через центр линзы (далее он идет, не преломляясь и не смещаясь в перпендикулярном направлении, т.к. линза тонкая).

При построении изображений предметов пользуются свойствами идеальных систем (см. выше).

Упражнение 1. Определение фокусного расстояния собирающей линзы (1 способ).