Системы линейных уравнений

В данном разделе нас будут интересовать возможность решения систем линейных уравнений, то есть, систем вида

где – известные числа, а – неизвестные, которые нужно найти, решив систему, .

Система линейных уравнений с использованием правила умножения матриц может быть записана в виде: , где , , .

Если число переменных системы больше числа уравнений , система оказывается недоопределенной, и если имеет решения, то их бесконечное множество. В случае, когда , система оказывается переопределенной и может не иметь решений. При любом соотношении между числом неизвестных и уравнений системы для решения или исследования системы линейных уравнений можно применять следующий метод.

Метод Гаусса

Основан данный метод на том, что при замене одного выбранного уравнения системы новым уравнением, полученным прибавлением к обеим частям данного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженным на одно и то же число, получившееся система будет эквивалентна данной, то есть обе системы будут иметь одно и то же то же решение или одновременно будут неразрешимыми.

Суть метода в том, что последовательно исключаются неизвестные из уравнений системы. Рассмотрим исходную систему. Предположим, что мы хотим исключить переменное из всех уравнений, кроме одного – первого из уравнений системы. В таком случае в качестве первого уравнения в системе мы должны выбрать то, где коэффициент при отличен от нуля. Предположим, что . Изменим второе уравнение системы, прибавив к обеим его частям обе части первого уравнения, умноженные на число . В новом втором уравнении уже не будет члена с . Теперь изменим третье уравнение системы, прибавив к обеим его частям обе части первого уравнения, умноженные на число . В новом третьем уравнении также не будет члена с …. Проделав эту операцию со всеми уравнениями системы, мы получим новую систему, эквивалентную данной и содержащую только в первом уравнении. Теперь исключим неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго. Для этого на второе место поставим то уравнение системы, не содержащее , в котором коэффициент при не равен нулю. Будем прибавлять обе части этого уравнения, умноженные на соответствующее число, к соответствующим частям всех уравнений, начиная с третьего, чтобы уничтожить в них члены с ….. Проделав это со всеми уравнениями системы и последовательно со всеми неизвестными, мы можем получить следующие варианты эквивалентных систем.

А) В случае, когда , мы либо придем к системе, где последнее уравнение содержит неизвестное, либо получим на каком-то этапе невозможное соотношение, когда ноль равен числу, отличному от нуля. В первом случае система имеет бесконечное множество решений, так как первые неизвестных выражаются линейно через оставшиеся неизвестные. Во втором случае система несовместна, то есть, не имеет решений.

Б) В случае, когда , мы можем прийти к системе, в котором последних уравнений одинаковы и представляют собой одно и то же выражение для . В этом случае система имеет единственное решение. Если же на каком-то этапе получится соотношение, где ноль равен числу, отличному от нуля, то система несовместна.

В) В случае, когда , мы также можем на каком-то этапе получить соотношение, где ноль равен числу, отличному от нуля. Такая система несовместна. В противном случае в последнем уравнении определяется неизвестное , а из предыдущих уравнений определяются последовательно и однозначно все другие неизвестные. В этом случае система имеет единственное решение.

П р и м е р. Решим методом Гаусса систему Сначала с помощью первого уравнения исключим x из второго и третьего уравнений: к обеим частям второго уравнения прибавим части первого уравнения, умноженные на -3, а к обеим частям третьего уравнения прибавим соответствующие части первого уравнения. Получим эквивалентную систему

Теперь исключим y из последнего уравнения, умножив обе части второго уравнения на -4 и прибавив к обеим частям третьего уравнения. Получим систему с треугольной левой частью: Теперь из последнего уравнения мы имеем: . Зная это значение, получим y из второго уравнения: . И наконец, значение определим из первого уравнения.

Для систем, где число уравнений и неизвестных совпадают, возможно применение следующего метода, основанного на вычислении определителей.