- •Ранг матрицы
- •Прямые на плоскости и плоскости в пространстве
- •Любая прямая на плоскости xoy представляется линейным уравнением вида . И наоборот, любое линейное уравнение вида описывает прямую на плоскости xoy.
- •Любая плоскость в пространстве xyz представляется линейным уравнением вида . И наоборот, любое линейное уравнение задает плоскость.
- •Собственные векторы и собственные значения
Ранг матрицы
Если определитель – числовая характеристика, определяемая только для квадратной матрицы, то для произвольной матрицы можно ввести числовую характеристику, называемую рангом матрицы. Рассмотрим для некоторой матрицы A размера всевозможные квадратные матрицы, полученные из A вычеркиванием строк и столбцов. Пусть существует такая квадратная матрица, размера ( ), определитель которой отличен от нуля, в то время как все квадратные матрицы большего размера имеют нулевые определители. Тогда говорят, что матрица A имеет ранг, равный p ( ).
Для вычисления ранга матрицы с помощью пакета программ MAXIMA используют команду rank:
matr.wxm
Справедлива следующая теорема: система
совместна (то есть имеет решения) тогда и только тогда, когда ранги главной матрицы системы
и расширенной матрицы системы
совпадают.
Прямые на плоскости и плоскости в пространстве
Продемонстрируем, как теория линейных систем иллюстрируется геометрическими примерами.
Рассмотрим множество точек плоскости XOY. Как известно, каждая точка на плоскости может быть задана с помощью двух декартовых координат и , которые являются координатами проекций точки на координатные оси.
Простейшей плоской кривой является прямая – геометрическое место точек, соединив любые две из которых, мы получим отрезок, параллельный заданному вектору.
Рассмотрим прямую в плоскости XOY. Фиксировать прямую, параллельную данному вектору с координатами мы сможем, задав одну точку с координатами , через которую прямая проходит. Выберем на прямой произвольную точку с координатами . Тогда из подобия соответствующих треугольников имеем
. (1)
Вводя угловой коэффициент прямой (тангенс угла, образуемого прямой с положительным направлением ), мы получим из (1) уравнение прямой с угловым коэффициентом: .
Приравнивая нулю координаты направляющего вектора и , получим прямые, параллельные координатным осям: и .
Прямая на плоскости может задаваться не только точкой и направляющим вектором, но и двумя различными точками.
Составляя пропорции сторон подобных треугольников, получим соотношение . Это линейное соотношение представляет собой уравнение прямой, проходящей через две различные точки.
Любая прямая на плоскости xoy представляется линейным уравнением вида . И наоборот, любое линейное уравнение вида описывает прямую на плоскости xoy.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Рассмотрим две прямые, задаваемы уравнениями и .
Возможны следующие случаи взаимного расположения этих прямых: 1) прямые совпадают, 2) прямые параллельны, 3) прямые пересекаются в одной точке. Исследуем соотношение между коэффициентами уравнений прямых в каждом из перечисленных случаев.
В случае 1) оба уравнения, описывающие одну и ту же прямую, должны совпадать или отличаться коэффициентом, на который можно сократить.
Таким образом, в данном случае .
В случае 2) угловые коэффициенты обеих прямых одинаковы. То есть,
. Отсюда получим условие параллельности: .
В случае 3) угловые коэффициенты прямых разные, то есть, , и
следовательно, прямые пересекаются в одной точке.
Найти точку пересечения двух прямых и – это значит, найти решение системы
Случай означает, что и главная матрица системы, и расширенная матрица системы имеют одинаковый ранг 1. Поэтому, хотя главный определитель системы равен нулю, система разрешима и имеет бесконечное множество решений.
Случай означает, что главный определитель системы равен нулю, при этом главная матрица системы имеет ранг 1, а расширенная матрица системы имеет ранг 2, поэтому система не имеет решений.
Случай означает, что главный определитель системы отличен от нуля, и следовательно, единственное решение системы можно найти, например, с помощью правила Крамера.
Точка в пространстве XYZ задается уже тремя декартовыми координатами , которые являются проекциями точки на соответствующие оси координат.
Простейшей из пространственных поверхностей является плоскость – геометрическое место таких точек, что отрезок, соединяющий любые две из них, перпендикулярен данному вектору, называемому нормалью к плоскости.
Зададим плоскость с данной нормалью с помощью точки с координатами , лежащей в этой плоскости.
Если взять произвольную, отличную от , точку M с координатами в данной плоскости, то согласно определению и условию взаимной перпендикулярности двух векторов (скалярное произведение этих векторов равно нулю) имеем . Используя координаты этих векторов получим условие взаимной перпендикулярности в виде .
Последнее уравнение и есть уравнение плоскости, проходящей через данную точку. В частности, уравнения плоскостей, параллельных координатным плоскостям, имеют вид , или .