Любая плоскость в пространстве xyz представляется линейным уравнением вида . И наоборот, любое линейное уравнение задает плоскость.

Взаимное расположение двух плоскостей. Две плоскости, представленные уравнениями и могут 1) совпадать, 2) быть параллельными, 3) пересекаться.

В случае 1) коэффициенты в уравнениях плоскостей могут отличаться только сомножителем, на который можно сократить. Это означает, что должно выполняться соотношение .

В случае 2) нормальные векторы обеих плоскостей должны совпадать, или быть параллельными, но уравнения должны оставаться различными за счет свободных членов. Следовательно, должно выполняться соотношение .

В случае 3) нормальные векторы плоскостей не должны быть параллельными.

Геометрическим местом точек пересечения плоскостей является прямая.

Взаимное расположение трех плоскостей. Вариантов взаимного расположения трех плоскостей значительно больше, чем двух. Мы рассмотрим случаи, когда любые две плоскости из трех не являются ни параллельными, ни, тем более, совпадающими. Это значит, что каждые две плоскости пересекаются вдоль прямой. Выберем какие-то две плоскости и рассмотрим случаи, когда 1) их общая прямая не пересекается с третьей плоскостью, 2) у трех плоскостей общая прямая пересечения, 3) их общая прямая пересекается с третьей плоскостью.

В случае 1) все три прямые, получаемые попарным пересечением плоскостей, параллельны.

Это значит, что все три вектора нормалей к плоскостям можно расположить в одной плоскости, перпендикулярной к трем параллельным прямым. В этом случае , так как один из векторов нормалей является линейной комбинацией двух других.

В случае 2) все три вектора нормалей также можно расположить в одной плоскости – и тот же определитель из коэффициентов равен нулю.

В случае 3) , и общая прямая двух плоскостей пересекает третью плоскость в единственной точке.

Найдем точку пересечения трех плоскостей , и – это значит, найти решение системы

В соответствии с изложенным единственное решение системы возможно только в случае отличия от нуля главного определителя системы: .

n-мерные пространства.

n-мерным пространством мы будем называть пространство точек , каждая из которых задается n координатами: . Расстояние между точками и в таком пространстве определяется следующим образом: . В частности, формула для расстояния между точками используется при сравнении объектов с идеалом по n признакам.

Линейные отображения.

Линейным отображением векторного пространства в векторное пространство называется такое отображение, что для любых двух векторов и из пространства и любых двух вещественных чисел и справедливо:

.

Любое линейное отображение -мерного пространства в -мерное задается некоторой матрицей размера и наоборот, любая матрица размера задает линейное отображение -мерного пространства в -мерное.

Действительно, возьмем произвольную матрицу размера . Ее можно умножить на -мерный вектор , рассматриваемый в вида матрицы-столбца размером . Результатом умножения будет матрица-столбец размером , то есть, -мерный вектор . Имеем , где

, , .

То, что отображение, задаваемое умножением вектора на матрицу, является линейным, следует из свойств сумм и произведений матриц.

В частности, линейное отображение -мерного пространства на множество вещественных чисел (одномерное пространство) задается матрицей-строкой размера .