Упражнение 3.18.
Вычислить площадь треугольника с
вершинами
и
Изобразить плоскость треугольника. Как
соотносятся площадь треугольника и
векторное произведение. Изобразить это
соответствие по аналогии с предыдущим
упражнением.
>> grid on, hold on
xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
axis square
line([-5 0 0;5 0 0], [0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','black')
box on
plot3(5,0,0,'<k','LineWidth',2)
plot3(0,5,0,'<k','LineWidth',2)
plot3(0,0,5,'<k','LineWidth',2)
text(4.5,-0.5,0.8,'X')
text(-0.5,4.5,0.8,'Y')
text(-0.5,-1,4.5,'Z')
A=[1 3 -1];
B=[2 -1 4];
C=[5 0 3];
>> line([A(1) B(1)],[A(2) B(2)],[A(3) B(3)],'Color','blue','LineWidth',2);
>> line([A(1) C(1)],[A(2) C(2)],[A(3) C(3)],'Color','green','LineWidth',2);
>> line([B(1) C(1)],[B(2) C(2)],[B(3) C(3)],'Color','black','LineWidth',1.5);
>> x1=1.05:0.078:4.95;
>> x2=2.05:0.078:5.95;
>> y1=2.95:-0.058:0;
>> y2=-1.05:-0.058:-3.95;
>> z1=-1.05:0.08:2.95;
>> z2=4.05:0.098:8.95;
>> line([x1;x2],[y1;y2],[z1;z2],'Color','yellow','LineWidth',0.5);
>> text(1,3,-1,'A');
>> text(2,-1,4,'B');
>> text(5,0,3,'C');
Площадь треугольника Определяется половиной площади паралелограмма. Тогда
>>AB=[1 -4 5];
>>AC=[4 3 4];
>>cross(AB,AC)/2;
>>dlin=sqrt(sum(ans.^2))
dlin =
19.8620
8. Смешанное произведение
Упражнение 3.19.
Найти смешанное произведение векторов
,
где векторы
и
перемножаются векторно, а их результат
на вектор 
скалярно, см формулу (10). Затем найти
смешанное произведение по формуле (16).
Проверить свойства (11) и (12) смешанного произведения по формуле (10).
Формула 10:
>> Smeh=sum(a.*cross(b,c))
Smeh =
a3*(b1*c2 - b2*c1) - a2*(b1*c3 - b3*c1) + a1*(b2*c3 - b3*c2)
Формула 16:
>> A=[a;b;c]
>> det(A)
ans =
a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 – a3*b2*c1
Провекра свойств 11 и 12
>> Smeh1=sum(cross(a,b).*c)
Smeh1 =
c3*(a1*b2 - a2*b1) - c2*(a1*b3 - a3*b1) + c1*(a2*b3 - a3*b2)
>> Smeh2=sum(a.*cross(b,c))
Smeh2 =
a3*(b1*c2 - b2*c1) - a2*(b1*c3 - b3*c1) + a1*(b2*c3 - b3*c2)
>> Smeh3=sum(cross(c,a).*b)
Smeh3 =
b2*(a1*c3 - a3*c1) - b3*(a1*c2 - a2*c1) - b1*(a2*c3 - a3*c2)
>>
>> Smeh1=sum(cross(a,b).*c)
Smeh1 =
c3*(a1*b2 - a2*b1) - c2*(a1*b3 - a3*b1) + c1*(a2*b3 - a3*b2)
>> Smeh2=sum(a.*cross(b,c))
Smeh2 =
a3*(b1*c2 - b2*c1) - a2*(b1*c3 - b3*c1) + a1*(b2*c3 - b3*c2)
>> Smeh3=sum(cross(c,a).*b)
Smeh3 =
b2*(a1*c3 - a3*c1) - b3*(a1*c2 - a2*c1) - b1*(a2*c3 - a3*c2)
При раскрытии скобок ответы совпадают
Упражнение 3.20.
С помощью смешанного произведения доказать, что векторы , и некомпланарны, определить ориентацию этой тройки. Ответьте на вопрос: как связано понятие компланарность с понятиями базис и линейная зависимость для этих векторов. Построить эти векторы. Вектор изобразить синим, вектор зеленым, вектор красным.
>> Smeh3=sum(cross(c,a).*b)
>> a=[1 -2 0]; b=[0 1 1]; c=[1 2 2];
>> A=[a;b;c]
>>det(A)
ans=
-2
По определению базис – это система линейно независимых векторов. Линейно независымимы веторами можно назвать только те которые не компланарны. Соответсвенно задав матррицу из координат веторов, если матрица не равна
нулю, из этого следует что векторы линейно независимы и это базис.
>> line([0 a(1)],[0 a(2)],[0 a(3)],'Color','blue','LineWidth',2);
>> line([0 b(1)],[0 b(2)],[0 b(3)],'Color','blue','LineWidth',2);
>> line([0 c(1)],[0 c(2)],[0 c(3)],'Color','blue','LineWidth',2);
