3. Линейная зависимость векторов Упражнение 3.10.
1. Векторы 
,
и 
образуют базис (доказать).
Доказательство базиса:
>> a = [1 2 0];
>> b = [0 1 1];
>> c = [1 2 2];
>> A=[a;b;c];
>> otA=det(A)
otA =
2
Так как опредлитель не равен нулю, то вектрова линейно независимы.
2.Изобразить эти векторы (в виде прямых) с помощью функций line, учитывая, что теперь в этой функции три координатных аргумента: аргументы точек абсцисс, ординат и аппликат. (LineWidth не указывать.)
>> line([a(1) b(1) c(1)],[a(2) b(2) c(2)],[a(3) b(3) c(3)])
>> grid on
>> axis equal
Изобразить орты 
черным цветом, толщиной
‘LineWidth’,
4
Изобразить орты векторов
толщиной ‘LineWidth’,4
>> line([0 a(1) 0 b(1) 0 c(1)],[0 a(2) 0 b(2) 0 c(2)],[0 a(3) 0 b(3) 0 c(3)]);
>> i=[1 0 0]; j=[0 1 0]; k=[0 0 1];
>> line([0 i(1) 0 j(1) 0 k(1)],[0 i(2) 0 j(2) 0 k(2)],[0 i(3) 0 j(3) 0 k(3)],'LineWidth', 4,'Color','black')
>> a=a/3; b=b/3; c=c/3;
>> line([0 a(1) 0 b(1) 0 c(1)],[0 a(2) 0 b(2) 0 c(2)],[0 a(3) 0 b(3) 0 c(3)],'LineWidth', 4,'Color','black');
Сразу ввести команды
>> grid on,
>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
>> axis square
>> axis equal
>> box on
Упражнение 3.11.
Проверить, что векторы 
не компланарны и, если это так, разложить
вектор 
по трем некомпланарным векторам
(при решении системы использовать
формулы Крамера), изобразить некомпланарные
векторы
и вектор
A)
,
и 
,
,
B) , и ,
1.A Проверить, что векторы не компланарны
A) , и , ,
Предположим что они компланарны. Тогда их сумма должна быть равна нулевому вектору. Пусть i, j, k — произвольные числовые переменные. Тогда:
i*(a-b+c) + j*(b-a-c) + k*(b-c) = 0;
Преобразуем и получим. a*(i — j) + b*(-i + j + k) + c*(i + j - k)=0;
Это возможно только если вектора равны нулю. Составим матрицу
>> A=[1 -1 0; -1 1 1; 1 -1 -1]
A =
1 -1 0
-1 1 1
1 -1 -1
>> det(A)
ans =
0
Из этого следует, что векторы не компланарны и это базис.
Разложить вектор по трем некомпланарным векторам
По правилу Крамера выразим a b и c через p q и r;
>>A=[1 -1 1; -1 1 -1; 0 1 -1]
A =
1 -1 1
-1 1 -1
0 1 -1
>> det(A)
ans =
0
Из этого следует, что невозможно выразить a b и c через p q и r;
2.В Проверить, что векторы не компланарны
B)
,
и
,
Предположим что они компланарны. Тогда их сумма должна быть равна нулевому вектору. Пусть i, j, k — произвольные числовые переменные. Тогда:
i*(2а + b + c) + j*(a + b) + k*(b-c) = 0;
Преобразуем и получим. a*(2i + j) + b*(i + j + k) + c*(i + j - k)=0;
Это возможно только если вектора равны нулю. Составим матрицу
>> A=[2 1 0; 1 1 1; 1 1 -1]
A =
2 1 0
1 1 1
1 1 -1
>> maI=[0 1 0; 0 1 1; 0 1 -1];
>> maJ=[2 0 0; 1 0 1; 1 0 -1];
>> maK=[2 1 0; 1 1 0; 1 1 0];
>> det(maI)
ans =
0
>> det(maJ)
ans =
0
>> det(maK)
ans =
0
По привилу крамера i = A/maI; j = A/maJ; k = A/maK; На ноль делить нельзя, поэтому векторы не компланарны и это базис.
По правилу Крамера выразим a b и c через p q и r;
>>A=[2 1 1; 1 1 0; 0 1 -1]
A =
2 1 1
1 1 0
0 1 -1
>> det(A)
ans =
0
Из этого следует, что невозможно выразить a b и c через p q и r;
2.С Проверить, что векторы не компланарны
C) , и , .
Предположим что они компланарны. Тогда их сумма должна быть равна нулевому вектору. Пусть i, j, k — произвольные числовые переменные. Тогда:
i*(а - b + c) + j*(a + b) + k*(b-c) = 0;
Преобразуем и получим. a*(i + j) + b*(-i + j + k) + c*(i + j - k)=0;
Это возможно только если вектора равны нулю. Составим матрицу
>> A=[1 1 0; -1 1 1; 1 1 -1]
A =
1 1 0
-1 1 1
1 1 -1
>>det(A)
ans =
-2
>> maI=[0 1 0; 0 1 1; 0 1 -1];
>> maJ=[-1 0 0; -1 0 1; 1 0 -1];
>> maK=[1 1 0; -1 1 0; 1 1 0];
>> det(maI)
ans =
0
>> det(maJ)
ans =
0
>> det(maK)
ans =
0
По привилу крамера i = A/maI; j = A/maJ; k = A/maK; На ноль делить нельзя, поэтому векторы не компланарны и это базис.
По правилу Крамера выразим a b и c через p q и r;
>> A=[1 -1 1;1 1 0; 0 1 -1]
ans =
-1
>> delA=[p -1 1;q 1 0;r 1 -1];
>> det(delA)
ans =
- p - r
>> delB=[1 p 1;1 q 0; 0 r -1];
>> det(delB)
ans =
p - q + r
>> delC=[1 -1 p; 1 1 q; 0 1 r];
>> det(delC)
ans =
p - q + 2*r
>> a = det(delA)/det(A)
a =
p + r
>> b = det(delB)/det(A)
b =
q - p - r
>> c = det(delC)/det(A)
c =
q - p - 2*r
>> s = a + b + c
s =
2*q - p – 2*r