2.3. Установившееся истечение газа через сопло Лаваля

Будем предполагать, что параметры торможения р₀, T₀, ₀ газа, находящегося в сосуде, поддерживаются постоянными. Принятие этого условия позволяет нам считать процесс истечения газа из сосуда установившимся.

Рис. 3. Схема истечения газа из сосуда через сопло Лаваля

Рассмотрим случай критического истечения газа из сосуда р_КР > р_ВС в критическом сечении сопла устанавливается скорость газа равная скорости звука и параметры в этом сечении будут критическими, определяемыми по следующим зависимостям:

p_КР = p₀ (1) = p₀ ( ) ;

T_КР = T₀ (1) = T ; (12)

_КР = ₀ (1) = ₀( ) ;

U_КР = a_КР = .

Расход газа через критическое сечение сопла будет равен:

G_КР = . (13)

В установившемся режиме течения расход газа через любое сечение сопла будет одинаков:

G_i = G_КР,

где G_i - расход газа через i-тое сечение сопла.

Подставляя сюда выражение для G_i и G_КР в соответствии с уравнениями (11) и (13) получим зависимость для определения q() в i–том сечении сопла:

q(_i) = (14)

По известному значению q() можно с помощью таблиц газодинамических функций найти , (), (), () и затем параметры:

U_i = _i , a_КР = _i ;

p_i = p₀(_i), T_i = T₀(_i), _i = ₀(_i) (15)

в i–том сечении сопла.

При определении _i, (_i), (_i), (_i) по известному значению q(_i) необходимо учитывать, что в сужающейся части сопла _i < 1, а в расширяющейся части _i > 1.

Реактивная сила, создаваемая струёй, истекающей из сопла Лаваля, может быть определена по формуле:

F = G_КР U_BС + _BС (p_BС – p_C), (16)

где G_КР, V_ВС и _BС находятся по приведённым выше зависимостям.

2.4. Проектировочный расчет сопла Лаваля

С изменением степени расширения сопла изменяется и давление газа в выходном сечении. Если исследовать функцию S на экстремум, то можно увидеть, что реактивная сила принимает максимальное значение при p_КР = p_С.

Если при p_КР > p_С окажется p_КР = p_С, то говорят, что сопло работает в расчётных условиях, а истекающую струю считают расчётной. При p_КР > p_С истекающая струя будет недорасширенной, а при p_КР < p_С перерасширенной.

На практике обычно обеспечивают степень расширения сопла Лаваля такой, чтобы сопло работало в расчётном режиме. Приведём зависимости для определения конструктивных параметров сопла, обеспечивающего получение заданной реактивной силы при минимальных затратах газа.

При p_С = p_ВС из формулы (16) имеем:

F = G_КР U_ВС = G_КР _ВС а_КР= . (17)

Поскольку p_С = p_ВС, то расчётное значение _ВС можно найти с помощью газодинамической функции ():

(_a)= . (18)

Добавляя к уравнениям (17) и (18) зависимость

q(_ВС) = , (14а)

получим замкнутую систему уравнений, позволяющую при известных значениях S, p₀, P_С, k определить площади S_КР и S_ВC сопла Лаваля, работающего в расчётном режиме.

Для расчёта S_КР и S_ВС необходимо:

1. Определить _ВС по формуле (18);

2. Вычислить S_КР по формуле (17);

3. Найти по формуле (14а), а затем зная S_КР определить значение S_ВC.

При известных значениях S_ВC, S_КР и S_ВО длины сужающейся и расширяющейся частей непрофилированного сопла находятся из условия, что углы раствора конусов этих частей соответственно равны 90 и 24.