2.2. Уравнения для определения давления, плотности и

температуры газа в зависимости от скорости газа

Для перевода газа из состояния покоя в движение со скоростью V, необходимо израсходовать часть его энтальпии равную:

, (1)

где i₀ = C_РТ₀, i = C_РТ_.

Здесь и далее индексом «0» отмечены параметры торможения.

Деля обе части уравнений (1) на квадрат скорости звука а² = kRT и учитывая, что М = , получим:

.

Принимая во внимание, что С_Р = отсюда имеем:

или

, (2)

где (М) - газодинамическая функция температуры.

Пользуясь соотношениями для идеальной адиабаты:

, ,

отсюда можно получить формулы для вычисления давления и плотности в идеальном потоке через параметры торможения:

; (3)

, (4)

где (М) и (М) газодинамические функции давления и плотности.

В критическом режиме скорость течения газа равна скорости звука и из уравнений (2), (3), (4) можно получить следующие выражения для критических значений параметров газа:

(5)

Отсюда также следует, что скорость звука в критическом режиме течения определяется по формуле:

а_КР = .

Газодинамические функции (М), (М), (М) часто встречаются при решении задачи внешнего обтекания тела газовым потоком.

Можно характеризовать степень преобразования энтальпии в кинетическую энергию ещё одним способом.

Разделив уравнение (1) на квадрат критической скорости звука и вводя понятие приведённой скорости газа  = получим:

.

Отсюда принимая во внимание, что С_Р = , имеем

или

. (6)

Пользуясь соотношениями для идеальной адиабаты и зависимостью (6) можно получить формулу для давления и плотности:

; (7)

. (8)

Газодинамические функции (), () и () часто встречаются при решении задач внутреннего течения газа в каналах.

Значения газодинамических функций по известным значениям  и М могут быть легко определены с помощью специальных таблиц. Связь между числами  и М легко установить, сравнивая выражения (2) и (6):

. (9)

Зная значение числа  или числа М и параметры торможения р₀, T₀, ₀ c помощью приведённых соотношений легко найти параметры р, T, , характеризующие состояние движущегося газа.

При решении задач связанных с течениями газа внутри каналов встречается помимо (), () и () газодинамическая функция расхода газа. Согласно уравнению неразрывности потока газа, протекающее через поперечное сечение канала, равно:

G = US.

Умножая и деля правую часть этого уравнения на а_КР, (1), а также учитывая соотношения:

 = ₀= ,

 = ₀ () = ,

имеем

G = .

Вводя газодинамическую функцию расхода

q() = (1)  (1 - ) , (10)

где (1) - множитель который при  =1 делает значение газодинамической функции равное единице, получим

G = . (11)

График зависимости q() представлен на рис. 2.

Рис. 2. График зависимости q()

Из рисунка видно, что одному значению q() соответствуют два значения : одно в дозвуковой области  < 1, а другое в сверхзвуковой  > 1.

В принципе одну газодинамическую функцию можно выразить через другую. При этом получаются новые газодинамические функции. На практике наибольшее применение из них получили функции:

q() = , q().

Для получения последней функции воспользуемся формулами (7) и (10). Из формулы (7) имеем:

1 - ,

где  = .

Подставляя эти выражения в формулу (10), получаем:

q() = .

С учётом последней формулы выражение для расхода газа через произвольное сечение принимает следующий вид:

G =