- •Глава 1. Числовые ряды
- •§1. Основные понятия
- •§2. Геометрический ряд
- •§3. Простейшие свойства сходящихся рядов
- •§4. Необходимый признак сходимости ряда
- •§5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •5.1. Признаки сравнения рядов
- •1) Если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится,
- •5.2. Признак Даламбера
- •5.3. Радикальный признак Коши
- •5.4. Интегральный признак Коши
- •1) Ряд (1) сходится, если интеграл сходится;
- •2) Ряд (1) расходится, если интеграл расходится.
- •§6. Знакочередующиеся ряды
- •§7. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- •§8. Остаток ряда и его оценка
- •Глава 2. Функциональные ряды
- •§1. Основные понятия
- •§2. Равномерная сходимость
- •§3. Степенные ряды
- •§4. Свойства степенных рядов
- •Глава 3. Ряды фурье
- •§1. Ряды и коэффициенты Фурье
- •§2. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •§3. Разложение в ряд Фурье периодических функций
§4. Свойства степенных рядов
Пусть дан степенной ряд (1), – интервал сходимости этого ряда.
Теорема 1. Ряды, полученные из данного степенного ряда почленным его дифференцированием и интегрированием, имеют тот же интервал сходимости, что и данный ряд.
Теорема 2. Пусть r – произвольное положительное число, меньшее чем R. Тогда данный степенной ряд (1) является равномерно сходящимся на сегменте .
Теорема 3. Сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией в каждой точке его интервала сходимости.
На основании теорем 1 и 2 можно доказать следующие теоремы.
Теорема 4. Степенной ряд (1) можно почленно дифференцировать в любой точке его интервала сходимости.
Теорема 5. Степенной ряд (1) можно почленно интегрировать в интервале сходимости.
,
где и – точки, принадлежащие интервалу сходимости.
Пример. Найти сумму ряда
Решение. Продифференцируем почленно заданный ряд и найдем его сумму по формуле , где и ; получим
.
Проинтегрировав затем в пределах от 0 до , находим
.
Этот ряд сходится в промежутке . ●
Свойства степенных рядов справедливы и для рядов вида (2).
Глава 3. Ряды фурье
§1. Ряды и коэффициенты Фурье
Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими. Примерами периодических процессов могут служить движение поршня в двигателях, распространение электромагнитных колебаний и т.п. Периодические процессы описываются периодическими функциями. Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . В электромеханике и электротехнике часто встречаются периодические несинусоидальные функции. Они могут описывать как механические колебания, так и электрические величины, например, пилообразные или в форме трапеции напряжения и токи. Для удобства работы эти функции можно разложить в тригонометрические ряды, т.е. представить их в виде суммы синусов, косинусов и свободного члена.
Тригонометрические ряды были введены Бернулли (швейцарец, математик и механик, один из основоположников гидродинамики) в 1753 г. в связи с изучением колебаний струны.
Формулы, выражающие коэффициенты ряда через данную функцию, были даны французским математиком Клеро в 1757 г., но не привлекли к себе внимания. Эйлер вновь получил эти формулы в 1777 г. (в работе, опубликованной после смерти Эйлера в 1793 г.). Строгий их вывод был намечен Фурье в 1823 г. Фурье систематически пользовался тригонометрическими рядами при изучении задач теплопроводности.
Итак, простейший периодический процесс – гармоническое колебание – описывается периодическими функциями и . Более сложные периодические процессы описываются функциями, составленными либо из конечного, либо из бесконечного числа слагаемых вида и .
Рассмотрим функциональный ряд вида
(1)
Такой ряд называется тригонометрическим рядом.
Так как члены тригонометрического ряда (1) имеют общий период , то и сумма ряда, если он сходится, будет также периодической функцией с периодом .
Если периодическая функция является суммой равномерно сходящегося на сегменте тригонометрического ряда (1), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам:
, , .
Коэффициенты ряда, определенные по этим формулам, называются коэффициентами Эйлера-Фурье.
Определение. Тригонометрический ряд
,
коэффициенты которого определяются по формулам Эйлера-Фурье, называется рядом Фурье, соответствующим функции .
Теорема Дирихле. Если функция задана на сегменте и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках сегмента . Если – сумма этого ряда, то во всех точках непрерывности этой функции
= ,
а во всех точках разрыва
. (2)
Кроме того,
. (3)
Условия этой теоремы часто называются условиями Дирихле.
IIример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную на интервале уравнением .
Решение. Графиком этой функции в интервале является отрезок, соединяющий точки и . На рисунке изображен график функции , где – сумма ряда Фурье функции .
|
Эта сумма является периодической функцией с периодом и совпадает с функцией на отрезке , так как данная функция удовлетворяет условиям Дирихле. На отрезке у нее всего две точки разрыва I рода на концах промежутка в точках и . Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим
.
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом,
.
Далее, находим коэффициенты . Имеем
.
Первый интеграл равен нулю (см. формулу (1) из §1).
Интегрируя по частям, получим:
, т.е.
Итак, , т.е. .
Найдем теперь коэффициенты :
.
Первый интеграл равен нулю.
Интегрируя по частям, получим:
, т.е.
.
Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид
.●