§2. Равномерная сходимость

Рассмотрим функциональный ряд, сходящийся в некоторой области. Обозначим сумму ряда через , тогда для всех из области сходимости имеем

(1)

Говорят, что ряд сходится к функции (а также, что ряд определяет, или выражает, или представляет функцию ).

Определение. Сходящийся функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся в некоторой области, если каждому сколь угодно малому числу соответствует такое целое положительное число , что -ый остаток при остается по абсолютной величине меньше , каково бы ни было в указанной области.

Если ряд сходится в интервале равномерно, то функцию – сумму ряда – можно приближенно представить при помощи одной и той же частичной суммы ряда

с одной и той же точностью во всех точках рассматриваемого интервала; эта точность характеризуется неравенством , справедливым при любом рассматриваемом , причем подбирается по заданному заранее .

Теорема. Сумма равномерно сходящегося в некоторой области ряда, составленного из непрерывных функций, есть функция, непрерывная в этой области.

Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости). Пусть …, … – положительные числа. Если

а) в некоторой области …, …;

б) числовой ряд сходится,

то функциональный ряд в этой области сходится равномерно (и абсолютно).

Пример. Функциональный ряд

сходится равномерно для всех действительных , потому что при всех и

,

и обобщенный гармонический ряд с показателем сходится. ●

Как мы знаем, сумму конечного числа функций можно почленно дифференцировать и интегрировать. Эти свойства не всегда выполняются, если число слагаемых бесконечно, т.е. для рядов. Однако эти свойства сохраняются для равномерно сходящихся на сегменте функциональных рядов.

Теорема 1. Если члены равномерно сходящегося на сегменте функционального ряда непрерывны на этом сегменте, то ряд можно почленно интегрировать.

Это значит, что если и любые две точки сегмента , то

+ + … + …

Теорема 2. Пусть ряд составлен из функций, обладающих непрерывными производными. Если ряд, составленный из производных от членов данного ряда, равномерно сходится в некоторой области, то его сумма есть производная от суммы данного ряда в этой области.

Итак, применимость действий анализа к бесконечному функциональному ряду обеспечивается свойством равномерной сходимости ряда.

Применимость арифметических действий к бесконечному ряду обеспечивается свойством абсолютной сходимости ряда

Теорема 3. Если равномерно сходящийся на сегменте ряд умножить на ограниченную функцию , то полученный ряд

будет равномерно сходящимся на сегменте .

§3. Степенные ряды

Определение. Функциональный ряд вида

(1)

где не зависят от переменной z, называется степенным относительно переменной z рядом. Числа называются коэффициентами этого ряда.

Если переменная z может принимать комплексные (и в том числе действительные) значения, а коэффициенты ряда – комплексные числа, то степенной ряд называется комплексным.

Если значения z могут быть только действительными, а коэффициенты ряда – тоже действительные числа, то степенной ряд называется действительным.

При получим

(2)

Если положить , то ряд (2) принимает вид

(3)

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при некотором , то он сходится абсолютно при всех значениях z, для которых .

Наоборот, если ряд (1) расходится при , то он расходится при всех значениях z, для которых .

Теорема. Областью сходимости степенного ряда

является интервал , к которому в зависимости от конкретных случаев, могут быть добавлены концевые точки и . В каждой точке интервала ряд сходится абсолютно.

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (3), число – радиусом сходимости.

Интервалом сходимости степенного ряда (2) является интервал с центром в точке длины .