- •Глава 1. Числовые ряды
- •§1. Основные понятия
- •§2. Геометрический ряд
- •§3. Простейшие свойства сходящихся рядов
- •§4. Необходимый признак сходимости ряда
- •§5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •5.1. Признаки сравнения рядов
- •1) Если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится,
- •5.2. Признак Даламбера
- •5.3. Радикальный признак Коши
- •5.4. Интегральный признак Коши
- •1) Ряд (1) сходится, если интеграл сходится;
- •2) Ряд (1) расходится, если интеграл расходится.
- •§6. Знакочередующиеся ряды
- •§7. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- •§8. Остаток ряда и его оценка
- •Глава 2. Функциональные ряды
- •§1. Основные понятия
- •§2. Равномерная сходимость
- •§3. Степенные ряды
- •§4. Свойства степенных рядов
- •Глава 3. Ряды фурье
- •§1. Ряды и коэффициенты Фурье
- •§2. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •§3. Разложение в ряд Фурье периодических функций
5.2. Признак Даламбера
Теорема. Если для знакоположительного ряда существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании п, т.е.
,
то при ряд сходится, а при ряд расходится.
Пример 1. Выясним, сходится ли ряд .
Решение. Имеем .
Вычисляем .
На основании признака Даламбера данный ряд сходится. ●
Пример 2. Исследуем сходимость ряда .
Решение. Имеем .
Вычисляем
На основании признака Даламбера данный ряд расходится. ●
Замечание. В тех случаях, когда или не существует, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о том, сходится или расходится ряд.
При этом ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. В этом случае применяются другие признаки.
Пример. Исследуем сходимость ряда .
Решение. Имеем .
Вычисляем .
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда. По первому признаку сравнения: при всех значениях n, а ряд с общим членом сходится. Следовательно, данный ряд сходится. ●
5.3. Радикальный признак Коши
Теорема. Если для знакоположительного ряда существует предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится.
Пример. Выясним, сходится ли ряд .
Решение. Вычисляем
.
На основании радикального признака Коши ряд сходится. ●
Замечание. Если не существует или равен 1, то признак Коши, как и признак Даламбера, не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
5.4. Интегральный признак Коши
Теорема. Пусть дан знакоположительный ряд (1). Если существует положительная, непрерывная, монотонно убывающая на функция , такая, что , , … , … то
1) Ряд (1) сходится, если интеграл сходится;
2) Ряд (1) расходится, если интеграл расходится.
Пример 1. Исследуем сходимость ряда .
Решение. – непрерывная при функция, убывает с возрастанием х.
Несобственный интеграл сходится, следовательно, данный ряд сходится. ●
Пример 2. Исследуем на сходимость ряд , где .
Решение. Рассмотрим . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы, рассмотренной выше. Вычислим
а) пусть , тогда при и интеграл
.
На основании интегрального признака Коши ряд расходится.
б) пусть , тогда
.
На основании интегрального признака Коши ряд расходится.
в) пусть , тогда при и интеграл
.
На основании интегрального признака Коши ряд сходится. ●
§6. Знакочередующиеся ряды
Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака. Ряд, в котором за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный, называют знакочередующимся.
Обозначим – абсолютные величины членов ряда. Будем считать, что первый член ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде:
(1)
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.
Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) , 2_ , то ряд сходится и его сумма .
Или: если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают, и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится, и его сумма не превосходит членов ряда.
Пример. Исследуем, сходится или расходится ряд
Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:
1) ,
2) .
Следовательно, ряд сходится.●