Платіжна матриця

	П1	П2	П3	П4
А1	51	54	55	57
А2	53	58	54	53
А3	54	56	56	52

Визначити таку стратегію гравця А, яка була б найбільш вигідною порівняно з іншими, використовуючи критерії Лапласа, Вальда, Севіджа та Гурвіца.

Розв’язання.

а) критерій Лапласа - за даними платіжної матриці (табл. 6.1) визначимо:

А₁ - (51+54+ 55+57) / 4 = 54,25;

А₂ - (53+58+54+53) / 4 = 54,50;

А₃ - (54+56+56+52) / 4 = 54,50.

За критерієм Лапласа оптимальним буде вибір стратегій А₂ та А_3.

б) критерій Вальда - за даними платіжної матриці (див. табл. 6.1) визначаємо мінімуми в рядках і вибираємо ту стратегію, при якій мінімум рядка максимальний (табл. 6.2).

Таблиця 6.2

Платіжна матриця

	П1	П2	П3	П4	max αi
А1	51	54	55	57	51
А2	53	58	54	53	53
А3	54	56	56	52	52

Оптимальною за критерієм Вальда буде стратегія А₂.

в) критерій Сєвіджа – за даними платіжної матриці (див. табл. 6.1) побудуємо матрицю ризиків і в праву додаткову колонку цієї матриці запишемо максимальні значення ризиків r_i кожного рядка, з яких вибираємо мінімальне значення (табл. 6.3)_.

Таблиця 6.3

Матриця ризиків

	П1	П2	П3	П4	min ri.
А1	3	4	1	0	4
А2	1	0	2	4	4
А3	0	2	0	5	5

Мінімальний ризик (4) відповідає стратегіям А₁ та А₂, тому вони оптимальні за критерієм Сєвіджа.

г) критерій Гурвіца – приймемо χ = 0,6 (невелика перевага у бік песимізму) і побудуємо таблицю 6.4, у якій в правих трьох додаткових колонках поставимо: мінімум α_i та максимум ω_i рядка, а також величину h_i = χ α_i + (1 - χ )ω_i,.

Таблиця 6.4

Платіжна матриця

	П1	П2	П3	П4	min αi	max ωi	мax hi
А1	51	54	55	57	51	57	0,6*51+0,4*57=53,4
А2	53	58	54	53	53	58	0,6*53+0,4*58=55,0
А3	54	56	56	52	52	56	0,6*52+0,4*56=53,6

Максимальне значення h_i = 55 відповідає стратегії А₂, тому вона буде оптимальною за критерієм Гурвіца.

Висновок. Всі критерії вказують на стратегію А₂, яку можна вважати оптимальною для заданих умов.

Завдання для самостійної роботи.

Задача 6. За даними платіжної матриці стратегій А_i (урожайність сортів озимої пшениці, ц з 1 га) та П_j ^*) (кліматичні умови) визначити оптимальну стратегію (вибір сорту озимої пшениці) гравця А (фермера), використовуючи критерії Лапласа, Вальда, Севіджа та Гурвіца при χ = 0,6.

Платіжна матриця

Сорт озимої пшениці	Стан природи
	П1	П2	П3
Тіра (А1)	47+К	48+Р	53+К
Одеська - 267 (А2)	48+Р	47+К	45+Р
Донецька - 48 (А3)	52+К	49+Р	51+К
Коломак - 5 (А4)	50+Р	46+К	48+Р

^*) Примітка. Вважати, що всі стани природи П_j є однаково ймовірними.