Зміст виконання завдання

1. Запис умов задачі за індивідуальним варіантом.

2. Визначення невідомих задачі, обмежень і цільової функції .

3. Запис економіко-математичної моделі задачі в аналітичній формі.

4. Побудова матриці економіко-математичної моделі задачі.

5. Розв'язання задачі на ПЕОМ за допомогою надбудови MS Excel ”Поиск решения” (додаток Б).

6. Висновки за результатами розв’язку задачі.

Зм 6. Аналіз та управління ризиком в економіці

Теоретична частина. Аналіз та управління ризиком в економіці, базується на математичному апараті теорії ігор, метою якої є розробка рекомендацій розумної поведінки учасників конфлікту. Щоб зробити можливим аналіз конфліктної ситуації будується її математична модель. Від реального об’єкту гра відрізняється тим, що вона ведеться за певними правилами. Ці правила визначають " права і обов'язки " учасників (партнерів, гравців), а також підсумок гри - виграш чи програш кожного учасника. Гра називається парною, якщо в ній приймають участь два гравця, якщо більше - множинною. Однією із задач множинної гри є виявлення розумних коаліцій та правил обміну інформацією між учасниками.

Розвиток гри у часі представляє собою послідовність ходів гравців. Ходом називається вибір гравцем однієї із передбачених правилами дій та їх здійснення. Ходи бувають особистими і випадковими. При особистому ході гравець свідомо вибирає той, чи інший варіант дій як, наприклад, при грі у шахи, а при випадковому - за якимось механізмом випадкового вибору (наприклад, кидання монети, гральної кості тощо). Деякі види гри містять тільки випадкові ходи (азартні ігри). Такі ігри не є об"ектами теорії гри. Її мета - оптимізація поведінки партнерів у грі, де поряд з випадковими є і особисті ходи. Такі ігри називають стратегічними. Стратегією гравця називається сукупність правил, які визначають вибір варіанту дій в залежності від ситуації, що склалася. Оптимальною називається стратегія, яка забезпечує гравцю максимальний виграш або мінімальний програш. Гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума всіх виграшів дорівнює сумі всіх програшів. Парні ігри з нульовою сумою називаються антагоністичними.

В теорії ігор найбільш розробленою є скінченна парна гра з нульовою сумою: нехай є m можливих стратегій гравця А (А₁, А₂ … А_i… А_m) та n можливих стратегій гравця В (В₁, В₂ … В_j … В_n). Позначимо a_ij виграш гравця А, якщо він користується стратегією А_i , та програш гравця В, якщо він користується стратегією В_j . Таблицю, в якій перераховані стратегії гравців і відповідні цим стратегіям виграші або програші, називається платіжною матрицею.

Платіжна матриця

	В1	В2	...	Вij	...	Вn
А1	а11	а12	...	а1j	...	а1n
А2	a21	a22	...	А2j	...	А2n
...	...	...	...	...	...	...
Ai	ai1	ai2	...	aij	...	ain
...	...	...	...	...	...	...
Аm	am1	am2	...	a11	...	amn

Основним принципом теорії гри є принцип "мінімаксу": потрібно вибирати таку стратегію гри, щоб при найкращій стратегії супротивника отримати максимальний виграш або мінімальний програш.

Згідно з цим принципом в кожному рядку платіжної матриці визначається мінімальне значення a_ij , з яких вибирається максимальне значення і відповідна йому стратегія. Вибравши цю стратегію гравець А при будь-яких стратегіях гравця В виграє не менше (може і більше) max (a_ij). Ця величина називається гарантованим виграшем або нижньою ціною гри (максимін) і позначається α .

Для гравця В (прагне програти якнайменше) в кожній колонці платіжної матриці визначаємо максимальне значення a_ij , з яких вибирається мінімальне значення і відповідна йому стратегія. Вибравши цю стратегію, гравець В при будь-яких стратегіях гравця А програє не більше (може і менше) min (a_ij). Ця величина називається верхньою ціною гри (мінімакс) і позначається β. Якщо

α = β, то стратегії гравців будуть сталими (гра має сідлову точку) і дорівнюють α = β = v, де v - ціна гри. Стратегії А_i та В_j , при яких досягається виграш (програш) v , називаються чистими стратегіями, а їх сукупність - розв’язком гри. Крім чистих застосовуються також і мішані стратегії, суть яких полягає в тому, що гравець застосовує не одну стратегію, а декілька, перемежовуючи їх довільним способом.

Основна теорема теорії гри: будь-яка гра двох гравців з нульовою сумою має у крайньому разі один розв’язок - пару оптимальних стратегій (в загальному випадку мішаних) і відповідну ціну гри..

В задачах теорії статистичних рішень невідомі умови певної ситуації залежать не від свідомо діючого гравця, як в задачах теорії ігор, а від об’єктивної дійсності, що виступає як незацікавлена (байдужа) інстанція, яку в теорії статистичних рішень називають “природою". Відповідні ситуації називають іграми з "природою". Від задач, які розв’язуються методами теорії ігор, наведена задача відрізняється тим, що для вибору оптимальної стратегії гравця А при “незацікавленості природи ” П вводиться поняття ризику. Ризиком r_ij гравця А при використанні стратегії А_i в умовах природи П_j називається різниця між виграшем, який гравець А одержав, якщо б були відомі умови природи П_j, та виграшем, який гравець А отримує при виборі стратегії А_i за невідомих умов природи П_j. Очевидно, що якби гравець А знав стан природи П_j, то він би вибрав ту стратегію, яка б забезпечувала максимальний виграш, який позначимо b_ij. Тоді, r_ij = b_ij - а_ij , де а_ij – коефіцієнти платіжної матриці. Ризик - це плата за відсутність інформації. Отже, доцільно мінімізувати ризик, який супроводжує вибір рішення. Таким чином, існує дві задачі при виборі рішення: перша – отримати максимальний виграш, друга – мінімізувати ризик. При стохастичній невизначеності, коли стани природи мають певні ймовірності р₁, р₂ ... р_j ... р_n, природно вибрати ту стратегію, для якої середнє значення виграшу, взяте по рядку платіжної матриці, максимальне:

max а_i = ∑ р_j а_ij

^jN

Доведено, що та ж сама стратегія, яка забезпечує максимальний середній виграш, одночасно мінімізує і середній ризик:

min r_i = ∑ р_j r_ij

^jN

Таким чином, у випадку стохастичної невизначеності максимізація виграшу або мінімізація ризику дають одне і теж оптимальне рішення.

Якщо приймається припущення, що ймовірності всіх станів природи однакові, що на практиці буває дуже рідко, тобто

р₁ = р₂ = ^... = р_j = ^... = р_n = 1/ n,

де n – кількість станів природи, то для вибору оптимальної стратегії використовується критерій Лапласа. При цьому, якщо в платіжній матриці коефіцієнти а_ij означають прибуток, то найкращим рішенням буде те, яке забезпечує

max а_ij = ( ∑р _jа_{i j} / n ) .

^jN

Якщо ж а_ij – витрати, то

min а_ij = ( ∑р _jа_ij / n } .

^jN

У випадках, коли ймовірності станів природи неможливо визначити або їх взагалі не існує для визначення оптимальної стратегії використовуються такі критерії:

1. Критерій Вальда (крайнього песимізму) – гра з природою ведеться як з розумним, причому агресивним супротивником, який робить усе можливе, щоб не дати досягнути бажаного успіху. Оптимальною вважається та стратегія, при якій гарантується виграш в будь-якому випадку не менший, ніж „нижня ціна гри з природою ”:

α = max min а_ij

^{i j}

Якщо керуватись цим критерієм, то потрібно орієнтуватися на найгірші умови, які гарантують виграш не менший, ніж „нижня ціна гри з природою ”.

2. Критерій Сєвіджа (песимістичний ) – при виборі оптимальної стратегії потрібно орієнтуватися не на виграш, а на ризик. Оптимальною вважається та стратегія, при якій величина ризику в найгірших умовах мінімальна:

ѕ = min max r_ij

^{i j}

Суть цього критерію полягає в тому, що за будь-яких обставин треба уникати великого ризику при прийнятті рішення.

3. Критерій Гурвіца (песимізму-оптимізму) – рекомендує не керуватися крайностями, а оптимальна стратегія вибирається з врахуванням умови:

Н = max {χ min а_ij + (1 - χ) max а_ij },

^{j i i}

де χ – "коефіцієнт песимізму", який вибирається між 0 та 1. При χ = 1 критерій Гурвіца перетворюється у критерій Вальда („критерій крайнього песимізму ”), а при χ = 0 – в критерій „крайнього оптимізму ”, який рекомендує вибирати ту стратегію, при якій найбільший виграш в рядку максимальний. Коефіцієнт χ вибирається в межах 0 χ  1, причому чим більший ризик, тим ближче до 1 вибирається коефіцієнт χ.

Наведені вище критерії дещо суб’єктивні, але якщо рекомендації за всіма критеріями співпадають, то таке рішення буде найкращим для заданих умов.

Приклад 6. Нехай є m можливих стратегій А₁, А₂ ... А_i ... А_m гравця А (фермер) та n стратегій П₁, П₂ ... П_j ... П_n природи П. Платіжна матриця стратегій А_i та П_j (наприклад, урожайність сортів озимої пшениці А_i в залежності від погодних умов П_j, ц з 1 га) наведена в табл. 6.1.^*)

Таблиця 6.1