Упражнения

18. В группе 30 студентов. Сколькими способами можно выбрать 6 делегатов для переговоров с админист­рацией института по вопросу о свободной продаже пива в студенческом буфете?

19. Сколькими способами можно поставить три пешки на белые клетки шахматной доски?

20. Для участия в соревнованиях тренер отбирает 5 спортсменов из двенадцати. Сколькими способами он может составить команду?

21. На окружности выбрано 7 точек. Сколько можно построить треугольников с вершинами в этих точках?

22. На карточке спортлото 36 клеток. Играющий должен отметить 4. Каково число всех возможных вари­антов?

Числа сочетаний обладают многими важными свойствами. Некоторые из них понадобятся нам в даль­нейшем. Например,

Доказательство. Если из п элементов выбрать k элементов, то останется п – k элементов. Следовательно, каждому сочетанию из п элементов по k соответствует определенное сочетание из п элементов по п – k. Поэто­му число тех и других сочетаний одинаково. Доказа­тельство закончено.

Формула (7) сокращает вычисления, например:

Заметим, что формулы (4)-(6) допускают более широкое толкование. По определению полагают 0! = 1, =1, = 1.

Числа также называют биномиальными коэффициентами, с их помощью записывается так называемая формула бинома Ньютона:

Эту формулу можно доказать, например, методом математической индукции. Попробуйте сделать это са­мостоятельно.

Типовые задания

1. Анкета по изучению общественного мнения со­держит 10 вопросов, на каждый из которых отвечающий дает один из трех ответов: «да», «нет», «не знаю». Найти число всех различных способов заполнения анке­ты.

2. Одна из воюющих сторон захватила в плен 12 солдат, а вторая 14. Сколькими способами можно обме­нять 5 военнопленных?

3. В партии из ста деталей имеется 10 бракованных. Наудачу выбирают 4 детали. Сколькими способами можно это сделать? Сколько будет четверок, не содер­жащих бракованных деталей? Найдите отношение чис­ла последних к числу первых.

Глава IV понятие вероятности

Трудно найти такую сферу человеческой деятельности, в которой не использовались бы вероятностно-ста­тистические методы. Они применяются практически во всех областях науки, в экономике, военном деле, техни­ке, медицине, юридической практике, криминалистике и т.д. Эти методы базируются на понятиях случайного события и вероятности. Решающий вклад в теорию ве­роятностей внесли такие замечательные математики как Пьер Ферма, Якоб Бернулли, Симон Лаплас, Пафнутий Львович Чебышев, Андрей Николаевич Колмогоров и многие другие.

§1. Случайные события

Окружающий нас мир пронизан явлениями, которые носят случайный характер. Мы встречаемся с ними, на­блюдая состояние атмосферы, физические эксперимен­ты, производственные процессы, общественно-политиче­ские ситуации и т.п. Результаты многих наблюдений нельзя предсказать однозначно. Предположим, в 10 ч в Твери пошел дождь. Утверждение «в 11 ч дождь кон­чится» может оказаться либо верным, либо нет. То же самое можно сказать о прогнозе на следующий день уровня радиации, курса доллара, популярности мэра, числа разбойных нападений, количества дорожно-транспортных происшествий. Допустим, что, исходя из ка­ких-то соображений, мы прогнозируем на завтра 12 дорожно-транспортных происшествий на улицах нашего города. Это событие может либо произойти, либо нет. Дело в том, что ситуация на дорогах зависит от большо­го количества факторов и учесть влияние каждого из них заранее невозможно (погода, видимость, направле­ние и сила ветра, самочувствие водителей и пешеходов, количество и расположение транспорта на трассе и т.д.) Поэтому не исключено, что число происшествий ока­жется не 12, а, например, 10, 8, или 15. Каждый такой факт является случайным событием.

Все наблюдаемые при определенных условиях собы­тия можно разделить на три вида: достоверные, невоз­можные и случайные. Всякий раз, когда указанные усло­вия выполняются, говорят, что происходит испытание.

Достоверным называют такое событие, которое про­исходит при каждом испытании.

Невозможным называют событие, которое не может произойти ни при одном испытании.

Случайным называют событие, которое в данном ис­пытании может произойти, а может и не произойти.

Пример 1. В урне имеются шары только синего и красного цвета. Наугад вынимают один шар. Событие, состоящее в том, что вынут либо синий, либо красный шар — достоверное. Событие, состоящее в том, что вы­нут шар белого цвета — невозможное. Событие «вынут шар красного цвета» (или событие «вынут шар синего цвета») является случайным.

Пример 2. Стрелок производит один выстрел по мишени, разделенной на 10 зон. Выстрел — это испы­тание; попадание в определенную зону, например, в «десятку» — событие; событие, состоящее в том, что мишень либо поражена, либо не поражена — достовер­ное событие; поражение одним выстрелом сразу трех зон — невозможное событие.

Случайные события будем обозначать буквами А, В, С, ... , достоверное событие — символом ,* невозмож­ное событие — символом .

* Греческая строчная буква омега.

Случайные события А₁, A₂, ... , A_n, называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 3. При одном бросании монеты выпадает либо орел (событие А), либо решка (событие В). События А и В несовместны.

В примере 2 обозначим через А₁, А₂, ... , А₁₀ собы­тия, состоящие, соответственно, в поражении первой, второй, ... , десятой зоны. Так как при попадании в границу двух зон судья всегда делает выбор в пользу какой-нибудь одной из них, то можно считать что собы­тия А₁, А₂, ... , А₁₀ несовместны.

События А₁, A₂, ... , A_n называются единственно возможными, если в результате испытания происходит какое-либо одно и только одно из этих событий.

Пример 4. Игральную кость бросают один раз. События А₁, A₂, А₃, А₄, А₅, A₆, состоят, соответственно, в выпадении чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти события являются единственно возможными.

В примере 2 события А₁–А₁₀ не будут единственно возможными, т.к. стрелок может вообще не попасть в мишень.

Каждое испытание можно описать с помощью событий, которые являются несовместными и единственно возможными. Эти события называются исходами испы­тания или элементарными событиями. Совокупность всех исходов испытания называют также пространством элементарных событий.