Упражнения

8. Из колоды карт вынимается одна. Событие А — вынута карта красной масти; событие В — вынут туз. Что означают события: , , А + В, АВ?

9. Игральная кость бросается один раз. Событие А — выпало четное число очков; событие В — выпало число очков, кратное трем. Что означает событие А + ? За­пишите событие, состоящее в выпадении шести очков.

10. В сессию студент должен был сдать два экзамена и один зачет. Событие А состоит в том, что студент сдал экзамен по английскому языку; событие В — он сдал экзамен по философии; событие С — получил зачет по физкультуре.

Запишите события:

а) студент не получил зачета;

б) сдал 2 экзамена;

в) сдал по крайней мере один экзамен;

г) получил зачет, но не сдал ни одного экзамена;

д) сдал только один из экзаменов и не получил зачета;

е) не сдал ничего;

ж) сдал все.

Свойства вероятности

Теорема 1. Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (1)

Доказательство. Пусть число всех исходов равно п. В число исходов, благоприятных событию А + В, входят все исходы, благоприятные событию А и все исходы, благоприятные событию В. Так как события А и B не­совместны, то среди перечисленных исходов нет одина­ковых. Поэтому т(А + В) = т(А) + т(В). Следовательно,

P(A+B)= =P(A)+P(B)

что и требовалось доказать.

Задача. В урне 8 белых, 5 синих и 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет синего или красного цвета?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что вынут синий шар, а событие В — вынут красный шар. Тогда Р(А) = , Р(В) = . Событие А + В означает, что вынут шар синего или красного цвета. Так как события А и В несовместны, то вероятность события А + В вычис­ляется по формуле (1)

Р(А+В) = .

Теорема 2. Справедлива формула

P( )=1 – P(A). (2)

Доказательство. Так как события А и несовмест­ны, то по формуле (1)

Р(А+ ) = Р(А) + Р( ).

С другой стороны, событие А + является достоверным, поэтому по свойству II из §2 имеем Р(А + ) = 1. Следовательно, Р(А) + Р( ) = 1, отсюда Р( ) = 1 – Р(А), что и требовалось доказать.

Задача. Один лотерейный билет выигрывает с веро­ятностью 0,0001. Какова вероятность того, что владелец одного билета ничего не выиграет?

Решение. Пусть событие А означает выигрыш. Тогда означает, что билет не выигрывает. По формуле (2)

Р( ) = 1 – 0,0001 = 0,9999.

Замечание. Формулу (1) можно распространить на любое число событий. Методом математической индук­ции доказывается, что если события А₁, A₂, ..., A_n. пoпарно несовместны, то вероятность их суммы вычисля­ется по формуле

Р(А₁ + А₂ + ... + А_n) = P(A₁) + P(A₂) + ...+ Р(А_п). (3)

Упражнение

11. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 выбирают две и со­ставляют двузначное число. Событие А — обе цифры числа четные; событие В — обе цифры нечетные. Что означают события , , А + В, , АВ? Найдите вероятности всех перечисленных событий.

§4. Условные вероятности. Независимые и зависимые события

Нижеследующая история показывает, что иногда вероятность события зависит от некоторого другого свя­занного с ним события.

История о выборах.

Дрюковцы и брюковцы решили выбрать общее правительство в составе мэра и вице-мэра. Согласно регла­менту, каждый город выставляет четырех кандидатов. Каждому кандидату дают шар, на котором тот записы­вает свою фамилию и затем опускает шар в урну. К ур­не подходит победитель конкурса «Настоящий мужчина города Дрюкова», наугад вынимает один шар из урны и объявляет имя мэра. После этого то же самое проделыва­ет победительница конкурса «Мисс Брюково» и объявляет имя вице-мэра. Какова вероятность того, что

1) вице-мэром станет брюковец;

2) вице-мэром станет брюковец, если мэром стал брюковец;

3) вице-мэром станет брюковец, если мэром стал дрюковец?

Рассмотрим следующие события:

событие А — вице-мэром избран брюковец;

событие В — мэром избран брюковец;

событие С — мэром избран дрюковец.

Чтобы ответить на первый вопрос, найдем число всех исходов голосования и число благоприятных исходов. Так как мэр выбирается из восьми кандидатов, а вице-мэр из оставшихся семи, то по правилу умножения число всех исходов (упорядоченных пар) равно 8 • 7 = 56. Число благоприятных исходов будет 28, т.к. число брюковских и дрюковских кандидатов одинаково. Таким образом, вероятность события А равна 1/2.

Ответим теперь на второй вопрос. Так как мэром стал брюковец, то в числе претендентов на должность вице-мэра осталось 4 дрюковца и 3 брюковца. Следова­тельно, вероятность того, что вице-мэром выберут брю­ковца, равна 3/7.

Последняя вероятность подсчитывается столь же просто. Если мэром стал дрюковец, то в числе претен­дентов осталось 4 брюковца и вероятность того, что ви­це-мэром стал брюковец, равна 4/7.

Итак, мы получили три разные вероятности. После­дние две из них называются условными вероятностя­ми. Во втором случае мы нашли вероятность А при условии В (мэром стал брюковец), в последнем случае — вероятность А при условии С (мэром стал дрюковец).

Определение. Условной вероятностью Р(А/В) назы­вают вероятность события А, вычисленную в предполо­жении, что произошло событие В.

Результаты выборов теперь можно записать так:

Р(А) = , Р(А/В) = , Р(А/С) = .