Упражнение

16. Майор Зимин решил сравнить среднее число книг, прочитанных среднестатистическим восьмиклас­сником за год, с количеством правонарушений, совер­шенных подростками в его микрорайоне в течение года. Проанализировав данные за 10 лет, он получил следую­щую таблицу:

Здесь Х — среднее число книг прочитанных одним вось­миклассником за год, Y — число правонарушений в те­чение года.

Изобразите данные графически, найдите коэффициент корреляции, постройте эмпирическую ломаную регрессии, определите параметры эмпирической линейной регрес­сии, найдите вероятность того, что при х = 41 число пра­вонарушений отличается от среднего не более чем на 2.

Мечта майора Зимина — найти число N с таким волшебным свойством: всякий недоросль, прочитавший N книг, становится потенциально образцовым граждани­ном. Согласно его расчетам, при этом значении N среднее значение у должно равняться нулю, т.е. N = 50. Но будь­те снисходительны к майору Зимину — он идеализировал математические методы из самых лучших побуждений!

Во второй главе мы рассматривали случайные величины, т.е. такие переменные величины, значения кото­рых зависят от случая. Например, число дорожных происшествий на улицах города в течение суток; число новорожденных за месяц; число заявлений, поступив­ших в отделение милиции; скорость молекулы газа при определенной температуре; число метеоритов, падающих на Землю, и т.д. Сейчас мы рассмотрим еще одну вели­чину, которая называется случайной ошибкой.

Пример

4. В течение часа проведено 10 измерений уровня радиации одним и тем же прибором (в микрорентгенах в час): 12,0 11,5 11,7 12,2 12,1 10,8 11,6 10,7 12,0 11,4. Результаты измерений получились различными вслед­ствие того, что и сам прибор, и человеческий глаз не являются идеальными орудиями наблюдения. Погреш­ность не может быть меньше толщины стрелки прибора; стрелка может вибрировать; угол, под которым мы смотрим на стрелку, также меняется. Кроме того, влия­ние оказывают атмосферные условия, настроение на­блюдателя и т.п. Конечно, мы считаем, что исключены всякого рода систематические ошибки, связанные, на­пример, с неисправностью прибора.

В отчете обычно показывают среднее арифметическое всех наблюдений. В нашем примере

= (12 + 11,5 + 11,7 + 12,2 + 12,1 + 10,8 + 10 + 11,6 + 10,7 +12 + 11,4 + 11,6) = 11,6.

Но для решения многих экологических проблем важно уметь оценить, насколько найденное среднее отличается от истинного значения радиации, которое нам неизвест­но (ведь в нашем распоряжении имеются только пока­зания приборов!). Как быть?

К счастью, математики умеют отвечать на этот воп­рос. Назовем случайной ошибкой разность между средним значением и истинным значением радиации. Так как истинное значение нам неизвестно, то и случайная ошибка тоже неизвестна. Многолетние наблюдения в различных экспериментах показали, что если число опытов достаточно велико, то случайные ошибки подчиняются некоторым общим закономерностям. Для их описания используется, как правило, так называемая интегральная функция Лапласа:

Этот интеграл не выражается через элементарные функ­ции. Но его приближенные значения табулированы (см. Приложение на с. 219).

С помощью таблицы значений функции Ф(a) легко вычислить, например, вероятность того, что случайная ошибка не превосходит заданной величины h. Обозна­чим через P(h) вероятность того, что истинное значение наблюдаемой величины отличается от найденного сред­него значения не более чем на h. Величину P(h) находят по следующей формуле:

Здесь n — число измерений, a S — среднее квадратическое отклонение полученных значений. В нашем примере n = 10,

[см. гл. II, формулы (5), (7)]. Пусть h = 0,3, тогда

Пользуясь теперь формулой (7) и Приложением, находим:

Таким образом, с вероятностью 0,93 истинное значение величины радиации заключено в промежутке от 11,6 – 0,3 = 11,3 до 11,6 + 0,3 = 11,9.

Как понимать полученный результат? Допустим, что радиационный фон в данной местности измеряли парал­лельно несколько бригад. Их результаты будут, вообще говоря, различными: у каждой бригады получится свое среднее значение . Можно гарантировать, что пример­но 93% найденных средних отклоняется от истинного значения не более чем на 0,3.