- •Введение: Нужна ли юристу математика?
- •Проценты
- •Типовое задание
- •Глава II первичная обработка результатов эксперимента
- •§1. Среднее арифметическое
- •§2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •§3. Интервальный ряд. Гистограмма
- •Типовые задания
- •Глава III элементы комбинаторики
- •§1. Комбинаторные задачи и методы их решения
- •Упражнения
- •§2. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •§3. Размещения, перестановки, сочетания
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Типовые задания
- •Глава IV понятие вероятности
- •§1. Случайные события
- •Примеры
- •§2. Классическое определение вероятности
- •Упражнения
- •§3. Операции над событиями. Свойства вероятности
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Свойства вероятности
- •Упражнение
- •§4. Условные вероятности. Независимые и зависимые события
- •Упражнение
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Типовые задания
- •§6. Корреляционная зависимость
- •Упражнение
- •Типовое задание
- •§4. Статистическая проверка гипотез
- •§5. Алгебры Буля
- •Глава IX о теории принятия решений §1. Математика помогает принять решение
- •§2. Извлечение из теории игр
- •Замечания.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§3. Метод собственного вектора
- •Замечания
Упражнения
1. Игральная кость брошена два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 11? 7? 8?
2. В партии из 100 деталей имеется 10 бракованных. Для проверки отобрали 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется только одна бракованная.
3. В студенческой группе (12 девушек и 8 юношей) разыгрываются 5 зарубежных путевок. Какова вероятность того, что путевки получат 3 девушки и 2 юноши?
4. Для включения в избирательный бюллетень нужно выбрать 8 из 10 кандидатов. Какова вероятность того, что в бюллетень попадет интересующий нас кандидат, если все кандидаты имеют одинаковые шансы?
5. Из цифр 3, 5, 9 составлены всевозможные двузначные числа. Какова вероятность того, что выбранное из этой совокупности число делится на три?
§3. Операции над событиями. Свойства вероятности
В теории вероятностей изучаются методы вычисления вероятностей случайных событий. Часто бывает так, что вероятность некоторого события С можно найти, зная вероятности других событий, связанных с событием С. Для этого прежде всего используются правила сложения и умножения вероятностей, о которых мы расскажем в этом и следующем параграфах.
История о находчивом майоре.
В городе Дрюкове объявлен розыск четверых особо опасных преступников, ограбивших Дрюковоуниверсал-банк. Чтобы предотвратить утечку информации при передаче в Центр сообщений о ходе розыска, майор Зимин придумал такой способ. Он зашифровал первыми буквами алфавита следующие события:
событие Р — обнаружен преступник Рыков;
событие У — обнаружен преступник Угрюмов;
событие Ф — обнаружен преступник Фомкин;
событие Т — обнаружен преступник Трошкин.
С помощью этих обозначений майор Зимин мог передать любую информацию. Например, сообщение Р + У означало бы, что обнаружен по крайней мере один из двоих преступников, Рыков или Угрюмов; сообщение УФ — обнаружены Угрюмов и Фомкин; сообщение — Трошкин не обнаружен.
Вскоре в Центр пришли следующие сообщения: 1) У + Ф; 2) УТ; 3) . Там их без труда расшифровали. Согласно первой шифровке, обнаружен кто-то из двоих — Угрюмов или Фомкин, причем не исключено, что и оба. Второе сообщение означало, что обнаружены и Угрюмов и Трошкин. Из третьего сообщения следовало, что Фомкин и Рыков не обнаружены. Таким образом, на первом этапе розыска обнаружили двоих преступников. Дальнейшие шифровки были такими:
4) УТ(Ф + Р); 5) УТФ ; 6) УТФР.
Первая из них означала, что обнаружены Угрюмов, Трошкин и по крайней мере один из двух других преступников. Вторая шифровка: обнаружены все, кроме Рыкова. Третья: обнаружены все четверо.
Упражнения
6. Расшифруйте донесения группы захвата:
1) Т+У; 2) Т ; 3) У+Ф; 4) У ; 5) Р+Ф; 6) У(Ф + Т).
7. Зашифруйте следующие донесения: 1) взят только
один из четырех; 2) взят по крайней мере один; 3) взяли не менее двух; 4) взяли только двоих; 5) взяли только троих; 6) взяли всех четверых.
Вы уже поняли, конечно, что майор Зимин изучал теорию вероятностей. Для шифровки донесений он использовал следующие понятия этой теории.
Сумма событий.
Если в некоторой ситуации произошло по крайней мере одно из двух событий А или В, то говорят, что произошло событие А + В. Так вводится понятие суммы событий. Например, событие Т + Р + Ф означает, что взят по меньшей мере один из трех (Трошкин, Рыков, Фомкин).
Произведение событий.
Если произошли оба события, и А и В, то говорят, что произошло событие АВ. Так вводится понятие произведения событий. Например, событие РТФ состоит в том, что взяты трое — Рыков, Трошкин и Фомкин.
Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие . Так вводится понятие противоположного события. Например, событие означает, что не взяты оба преступника, Трошкин и Фомкин, а событие , противоположное событию Т+Ф, состоит в том, что не произошло по крайней мере одно из событий — Т или Ф.