3.8. Площадь треугольника через координаты его вершин

Треугольник – одна из самых распространенных фигур и надо уметь вычислять площадь треугольника средствами аналитической геометрии. Пусть даны вершины треугольника А(х₁, у₁), В(х₂, у₂), С(х₃,у₃). Надо найти площадь S треугольника АВС через координаты его вершин. Стороны АВ и АС как векторы, имеют общее начало в точке А и следующие координаты:

, . Зная, что площадь построенной на этих векторах параллелограммы 2 раза больше площади треугольника АВС, найдем площадь параллелограммы как модуль векторного произведения этих векторов:

= = .

Модуль полученного векторного произведения есть модуль коэффициента при базисном векторе , и удобно записать компактно в виде детерминанта второго порядка: . Это есть площадь параллелограммы.

Формулу для вычисления площади треугольника через координаты его вершин получаем в виде:

(3.30)

Расстояния от данной точки до данной прямой находим по формуле

, (3.31)

где А, В, С – коэффициенты прямой, - координаты данной точки.

Итак, мы познакомились с некоторыми важными понятиями аналитической геометрии. В основе последней лежит метод координат, введенный в науку французским математиком и философом Рене Декартом, а главная ее идея заключается в возможности представлять геометрические объекты в виде алгебраических уравнений и переводить геометрические задачи на язык алгебры.

Вопросы для самопроверки

Разъяснить понятия, ответить на вопросы, продолжать предложения:

1. Почему раздел называется «аналитическая геометрия»?

2. Вектор, модуль вектора. Тождественные вектора.

3. Умножение вектора на число, сложение и разность векторов. Коллинеарность векторов.

4. Базисные вектора (орты), разложение вектора на компоненты.

5. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

6. Скалярное произведение двух векторов, свойства скалярного произведения.

7. Как вычислить угол между векторами, заданными в координатах?

8. Что собой представляет линейная комбинация векторов?

9. Векторное произведение векторов, определение и вычисление с помощью координат.

10. Компланарность трех векторов. Необходимое и достаточное условие компланарности.

11. Смешанное произведение трех векторов. Геометрическая интерпретация.

12. Какие разные виды уравнения прямой на плоскости знаете?

13. Что такое угловой коэффициент прямой и как определить угол между двумя прямимы аналитически?

14. Как определить площадь треугольника заданной координатами вершин?

15. Как определить объем пирамиды заданной координатами вершин?

16. Как определить расстояние от точки до прямой аналитическим способом?

Упражнения и задачи

1. Найти длину вектора а=2i+3j-4k и его направляющие косинусы.

2. Даны точки М₁(2;-1;3), М₂(1;4;0). Найти длину и направление вектора М₂М₁.

3. Найти вектор а, образующий с осями ОХ, ОY, OZ равные острые углы, если известно, что длина вектора равна 2√3.

4. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(3;-4;7), В(-5;3;-2), С(1;2;-3). Найти координаты четвертой вершины D.

5. Определить угол между векторами а(1;2;3) и в(4;2;-1).

6. Даны точки М₁(1;0;-1), М₂(0;0;4), М₃(2;0;-2) и О(0;0;0). Построить векторы М₁М₂, ОМ₃ и вычислить угол между ними.

7. Даны вершины А(1;2;-4), В(4;2;0), С(-3;2;-1). Найти длины сторон и угли треугольника.

8. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а(-2;1), в(2;1).

9. Определить, при каком значений m векторы а(m;-3;2) и в(1;2;-m) векторы перпендикулярны.

10. От продажи 50 изделий доход составил 500 руб., а от продажи 100 изделий – 2000 руб. Определить ожидаемый доход от продажи 500 изделий при условии, что функция дохода линейна.

11. Найти площадь треугольника с вершинами А(1;2), В(-1;2), С(1;-4).

12. Найти объем пирамиды с вершинами А(-1,2,1), В(0,1,2), С(3,-4,2), D(1,0,0).