49

Глава 3. Элементы Аналитической Геометрии

Здесь речь пойдет о таких основных понятиях как декартовая система отсчета координат, точка, отрезок, прямая, плоскость, вектор. А также речь пойдет об основных свойствах, соотношениях, действиях между ними, о методах вычислении расстоянии, углов, площадей, объемов только с помощью анализа координатных данных (из за чего и называется аналитической геометрией).

3.1. Основные понятия и определения

3.1.1. Вектор - это направленный отрезок АВ, А точка приложения, а В вершина (конец) вектора. Иначе говоря, вектор есть стрелка, имеет величину (длина стрелки) и направление. Обозначается вектор либо латинской маленькой буквой, с начала алфавита (со стрелкой сверху либо без стрелочки, но жирным шрифтом, что более удобно) либо двумя большими буквами (начало и конец) со стрелкой сверху так: или .

Вектора характеризуется и величиной (числом) и направлением, встречается во многих задачах прикладных наук. Например, сила и скорость – векторные величины; а площадь, объем, температура – величины скалярные, они характеризуются лишь числовым значением.

Длиной или модулем вектора называется длина направленного отрезка и обозначается так . Нуль-вектором считается вектор с нулевой длиной. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным. Два вектора в математике считаются тождественными или равными, если один из них может быть получен из другого с помощью параллельного переноса. Рассмотрим векторы, которые можно свободно перемещать в пространстве, соблюдая условия параллельности, не меняя направления и длины. Их называют свободными векторами.

3.1.2. Линейные операции над векторами

Над векторами можно производить линейные операции:

умножение на число и сложение. Векторы, лежащие на одной и той же прямой (или на параллельных прямых) называются коллинеарными.

Произведением числа  на вектор называется вектор, коллинеарный вектору , длина которого равна и который одинаково направлен с вектором , если  > 0 и противоположно направлен, если  < 0. В частности, умножение данного вектора на -1 дает противоположный вектор - , а умножение на 0 дает нуль-вектор. При этом  = . Условие коллинеарности двух векторов и такое:

(3.1)

Сложение векторов. С ложение двух векторов выполняется по правилу параллелограмма. Суммой двух векторов и называется третий вектор , имеющий с ними общее начало и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис. 3.1).

С уммой нескольких векторов + + +…+ является вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора (по правилу замыкающей стороны многоугольника). О свойствах сложения векторов будет сказано ниже.

Разность двух векторов определяется как сложение с противоположным вектором:

- = +(- )= (рис. 3.2).

В частности, - =0.

3.1.3. Разложение вектора по базисным векторам (ортам)

П усть свободный вектор, начало которого совпадает с началом прямоугольной системы координат (рис.3.3), следовательно координатами вектора считаются координаты его конца М( ; ; ). Спроектируем точку М на плоскость хОу. Получим точку D, которую спроектируем на оси Ох и Оу в точки А и В. Пусть точка С - проекция точки М на ось Оz. Построим векторы , , , a также единичные векторы (орты, базисные векторы), имеющие общее начало в точке О.

По правилам сложения векторов получим

= + = + +

Любой вектор можно представить в виде произведения его модуля на единичный вектор его направления:

Следовательно, = , = , = , где Х, Y, Z - проекции вектора на оси координат. Таким образом,

, или (3.2)

где слагаемые, стоящие в правой части формулы, называются компонентами (составляющими) вектора . Можно записать вектор так:

, или ={ }, (3.3)

где проекции вектора на оси координат называют координатами вектора.

В дальнейшем мы часто будем переходить от записи вектора в компонентах к записи в координатах и обратно.

Если начало вектора не совпадает с началом координат и , где М₁(х₁, у₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) то проекции такого вектора на оси будут равны

X=x₂ – x₁, Y=y₂ – y₁, Z=z₂ – z₁.

И тогда запись вектора в координатной форме

(3.4)

3.1.4. Линейные операции над векторами с помощью координат

Умножение вектора на число.

Пусть дан вектор и число , тогда

(3.5)

Итак, чтобы умножить число на вектор (или вектор на число) надо умножить каждую координату вектора на это число. Условие коллинеарности в координатной форме запишется так = = , а это равенство возможно, если . Таким образом , т.е. пропорциональность координат – необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

Сложение векторов.

Пусть даны два вектора и . Тогда

(3.6)

Итак, складывая два вектора, получим новый вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов.

Формулу (3.6) можно распространять на любое конечное число слагаемых.

3.2. Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух данных векторов и называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними:

, где . (3.7)

Свойства скалярного произведения:

1) = , то есть выполняется закон переместительности;

2) , выполняется закон распределительности;

3) , выполняется закон сочетательности с числовым множителем;

4) , если .

Итак, условие перпендикулярности двух векторов:

если и , _, то (3.8)

Из (3.7) получаем формулу для выражения угла между двумя векторами

(3.9)

В частности, или , то есть скалярный квадрат равен квадрату модуля.

скалярное произведение векторов, заданных в координатах

пусть даны два вектора в координатах , . Умножим их, записав в компонентах и используя свойства скалярного произведения

где , , , так как - взаимно перпендикулярны; , , как скалярные квадраты единичных векторов. Таким образом,

. (3.10)

Если , то скалярный квадрат , но , как было показано выше, следовательно, , откуда

, (3.11)

а если вектор задан координатами начальной М₁ и конечной М₂ точек, как в формуле (3.4), то его модуль

(3.12)

Очевидно, что формулу (3.9) можно записать, используя (3.10) и (3.11), в виде

(3.13)

Эта формула позволяет вычислять угол между векторами, заданными в координатах.

Пример 3.1. Найти угол между векторами , .

Решение. По формуле (3.13) получим

,

Все, что было сказано о геометрических векторах в пространстве трех измерений, распространяется на векторы, заданные на плоскости, то есть двухмерные.

3.3. Линейная зависимость векторов

Линейной комбинацией векторов называется сумма произведений этих векторов на действительные числа ,то есть сумма , (3.14)

которая тоже является вектором. Числа называются коэффициентами линейной комбинации.

Пример 3.2. Составить линейную комбинацию векторов = (3; -2; 4) и =(1; -1; -5) с коэффициентами = 2, = -3 .

Решение. Вычислим сначала 2 и -3 :

2 = 2(3; -2; 4) = (6; -4; 8); -3 = -3(1; -1; -5) = (-3; 3; 15).

Теперь составим линейную комбинацию

2 - 3 =(6; -4; 8)+ (-3; 3; 15)=(3; -1; 23)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию = , причем хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.

Если из системы векторов нельзя составить нулевую линейную комбинацию, то система векторов называется линейно независимой.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов. На плоскости можно найти линейно независимую систему из двух векторов (не больше), в трехмерном пространстве - из трех, но не большего числа векторов и так далее.

3.4. Векторное произведение двух векторов.

Смешенное произведение трех векторов.

Определение. Векторное произведение вектора на вектор дает некий вектор , который строится следующим образом:

1) его модуль численно равен площади параллелограмма (AOBL на рис. 3.4), построенного на векторах и , т.е. ;

2) его направление перпендикулярно плоскости параллелограммы;

и из двух возможных вариантов перпендикулярности направление выбирается так, чтобы векторы , , составляли правую систему.

Т.е. из вершины вектора поворот от до должен смотреться против часовой стрелки.

C

Векторное произведение обозначается: или . По определению векторное произведение коллинеарных векторов есть нуль-вектор, т.к. АOBL в этом случае будет иметь нулевую площадь.

В

О

L

А

Рис. 3.4

Пример 3.3. Найти векторное произведение орт векторов (единичных базисных векторов) .

Решение.

1) Длины орт векторов равны единице, поэтому площадь строенной на них параллелограммы (квадрата) равна единице.

2)Так как перпендикуляр к плоскости, содержащей и есть ось OZ, то искомое векторное произведение может быть либо вектор либо .

3)Из этих двух возможных векторов следует брать , так как векторы образуют правую систему. Итак, .

Аналогично можно показать, что: , , и т.д.

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Пусть даны векторы и , тогда

= . (3.15)

Легко запоминается другая форма записи:

= . (3.16)

Определение. Три вектора (или большее число векторов) называются компланарными , если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Определение. Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора на векторное произведение , т.е. число . Обозначают также . Если система трех векторов правая, то >0 (если левая, то <0).

Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

Даны векторы , , , тогда смешанное произведение вычисляется по формуле:

= . (3.17)

Если же векторы компланарны, то =0.

Чтобы три вектора лежали в одной плоскости (были компланарными) необходимо и достаточно обращение в нуль их смешанного произведения.

Признак компланарности трех векторов в координатной форме:

= 0. (3.18)

Геометрический смысл смешанного произведения: Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , взятому со знаком плюс, если система правая (и со знаком минус, если эта система левая).

Пример 3.4. Определить объем пирамиды с вершинами А(1,2,-1), В(0,1,0), С(-3,4,2), D(1,0,0).

Решение. Объем пирамиды составляет 1/6 часть объема параллелепипеда построенного на векторах АВ, АС, АD , а объем параллелепипеда найдем как модуль смешенного произведения этих трех векторов. Сначала найдем координаты этих векторов: АВ(-1;-1;1), АС(-4;2;3), AD(0;-2;1). Подставляя координаты в формулу (3.17) получим объем параллелепипеда:

mod(-4) = 4. Значит объем пирамиды равен 4/6.