5.5. Модель атома Резерфорда-Бора Довідковий матеріал

Момент імпульсу електрона на n-й орбіті (правило квантування орбіт):

де m – маса електрона; _n – швидкість електрона на n-й орбіті; r_n – радіус n-ї орбіти; h – стала Планка; n − квантове число (n=1,2,3…).

Енергія кванта, що випромінюється, або поглинається атомом (правило частот):

де  − частота кванта випромінювання; Е₂ і Е₁ – повна енергія електрона в атомі у відповідних станах:

(n=1,2,3, …),

де m – маса електрона; Z – заряд ядра; e – заряд електрона; ₀− електрична постійна; h – стала Планка.

Серіальна формула, яка визначає довжину хвилі, що випромінюється або поглинається атомом водню при переході електрона з однієї орбіти на другу:

де R^/ – cтала Рідберга: м⁻¹; n₁ i n₂ – квантові числа, що визначають енергетичний рівень електрона в атомі.

Для спектральних ліній серії Лаймана (ультрафіолетова область) n₁=1, n₂=2,3,4,…; для спектральних ліній серії Бальмера (видима область) n₁=2, n₂=3,4,5,…; для спектральних ліній серії Пашена (інфрачервона область) n₁=3, n₂=4,5,6,…

Енергія іонізації атома водню з даного стану:

Енергія іонізації Е_іон пов’язана з потенціалом іонізації _іон

за формулою:

Е_іон=е_іон; .

Частота випромінювання для водневоподібних атомів:

де Z – порядковий номер елемента; с – швидкість світла у вакуумі; R^/− стала Рідберга; n₁=1,2,3,…; n₂=n₁+1, n₁+2.

Довжина хвилі характеристичного рентгенівського випромінювання (формула Мозлі):

де Z – порядковий номер елемента (заряд ядра в одиницях елементарного заряду);  − постійна екранування; n₁=1,2,3,…, n₂=n₁+1, n₁+2, …

Постійна екранування для -лінії К-серії характеристичного рентгенівського випромінювання =1, а n₁=1, n₂=2.

Формула Мозлі в цьому випадку має вигляд:

Задачі

Користуючись теорією Бора, визначити швидкість електрона на першій та другій орбітах в атомі водню. [2,18∙10⁶ м/с; 1,09∙10⁶ м/с].
Яку кінетичну енергію має електрон, що міститься на n-й орбіті атома водню? Обчислення енергії зробити для n=1,2,3 і  (в електронвольтах). [Е₁= =13,6 еВ; Е₂= 3,4 еВ; Е₃= 1,51 еВ; Е_∞=0].
Електрон в атомі водню міститься на другій орбіті. Визначити кінетичну потенціальну та повну енергію цього електрона в електронвольтах. [3,38 еВ; −6,76 еВ; −3,38 еВ].
Обчислити зміну орбітального момента імпульсу електрона при переході атома водню із збудженого стану в основний з випромінюванням одного кванта з довжиною хвилі 102,5 нм. [∆L=2,1∙10⁻³⁴ Дж∙с].
Яку найбільшу та найменшу довжини хвиль мають спектральні лінії серії Пашена (першої інфрачервоної серії спектра водню). [λ_max= 1,87 мкм; λ_mіn= 0,82 мкм].
1) Якими переходами електронів в атомі водню зумовлена видима оком серія спектральних ліній? 2) Знайти найбільшу та найменшу довжини хвиль спектральних ліній у цій серії. [1) Переходами електронів з орбіти n= 3,4,5,…. на орбіту з n=2; λ_max= 656 мкм; λ_m_і_n=365 нм].
Визначити найбільшу та найменшу довжини хвиль спектральних ліній в ультрафіолетовій серії (серії Лаймана) спектра водню. Яку найменшу та найбільшу енергію мають фотони в цій серії? [λ_max= 121,5 мкм; λ_m_і_n=91,1 мкм; Е_m_і_n=10,23 еВ.; Е_max=13,6 еВ].
Яку кінетичну енергію повинні мати електрони, щоб при збудженні атомів водню їхніми ударами в спектрі випромінювання атомів появилась спектральна лінія з найбільшою довжиною хвилі із ультрафіолетової серії? Яка довжина хвилі цієї спектральної лінії? [1) 10,2 еВ; 2) 121,5 нм].
Найбільша довжина хвилі спектральної водневої лінії серії Пашена дорівнює 1,87 мкм. Визначте за цією довжиною хвилі найбільшу довжину хвилі в серії Бальмера. [654,5 нм].
Визначити енергію фотонів, які відповідають другій спектральній лінії в ультрафіолетовій серії (серії Лаймана) і першої інфрачервоної серії (серії Пашена) атома водню. [12,1 еВ; 0,97 еВ].
При опроміненні атомів водню світлом певної частоти вони збуджуються до такої величини енергії, що, переходячи в основний стан, випромінюють тільки три спектральні лінії. Вказати, яким серіям належать ці спектральні лінії та визначити їхні довжини хвиль. [1) Серія Лаймана: 121,5 нм; 102,5 нм. 2) Серія Бальмера: 656,3 нм].
При поглинанні кванта світла з довжиною хвилі 102,2 нм атом водню переходить із основного стану в збуджений. Чому дорівнює радіус орбіти електрона в збудженому атомі водню? [478,5 пм].
Кванти падаючого немонохроматичного світла збуджують атоми водню таким чином, що в спектрі випромінювання атомів спостерігаються оком три спектральні лінії. 1) Визначити, в яких межах перебуває енергія квантів падаючого світла. 2) Знайти довжини хвиль трьох вищеназваних спектральних ліній. [1) 12,1 еВ≤Е≤13,1 еВ; 2) λ₁=656,3 нм; λ₂=486 нм; λ₃=434 нм].
Атоми водню збуджуються ударами електронів такої енергії, що в спектрі випромінювання атомів з’являються три спектральні лінії. 1) Яку найменшу кінетичну енергію при цьому повинні мати електрони? 2) Яку довжину хвилі мають три вищезгадані спектральні лінії? [Е_mіn=12,08 еВ; λ₁=121,5 нм; λ₂=102,5 нм; λ₃=656,3 нм].
При збудженні атома водню квантами монохроматичного світла радіус орбіти його електрона збільшився у 4 рази. Яку найбільшу довжину хвилі повинні мати кванти світла, щоб здійснився вищевказаний перехід електрона? [121,5 нм].
Один із атомів водню при переході із збудженого стану в основний випромінив послідовно два кванти з довжинами хвиль 486 нм і 121,2 нм. Визначити число спектральних ліній, які можуть випромінюватися багатьма атомами, що перебувають у вищеназваному збудженому стані. [6 ліній].
При спостереженні спектра атомарного водню, одержаного за допомогою дифракційної решітки з періодом 3 мкм, виявлено, що одна із спектральних ліній серії Бальмера в спектрі третього порядку відповідає куту дифракції 25⁰43. Визначте головне квантове число енергетичного рівня атома, переходу з якого відповідає вказана лінія. [n=5].
Випромінювання газорозрядної трубки, наповненої атомарним воднем, падає нормально на дифракційну решітку з періодом 4 мкм. Якому переходу електрона відповідає лінія, що спостерігається за допомогою цієї решітки в спектрі третього порядку під кутом 21⁰21? [Переходу з m=4 на n=2].
Визначити потенціал іонізації атома водню, який перебуває в основному стані. [φ_іон=13,6 еВ].
Вважаючи, що однократно іонізований атом гелію і двократно іонізований атом літію є водневоподібними атомами, визначити їхній потенціал іонізації. [φ₁=54 В; φ₂=122 В].
Знайти енергію фотона, яка відповідає переходу електрона з другої борівської орбіти на першу у двократно іонізованому атомі літію. [92 еВ].
Користуючись теорією Бора, визначити для однократно іонізованого атома гелію: а) радіус першої електронної орбіти; б) швидкість електрона на цій орбіті; в) потенціал іонізації; г) довжину хвилі в спектрі, яка відповідає переходу електрона з другої орбіти на першу. [r₁=26,6 пм; φ₁=54 В; υ₁=4,36 Мс/с; λ=30,3 нм].
Однократно іонізований атом гелію перебуває в першому збудженому стані. Знайти радіус борівської орбіти та швидкість руху на ній електрона, що залишився в атомі гелію. [r=106 пм; υ=2,19 Мм/с].
Яку довжину хвилі має спектральна лінія характеристичного рентгенівського випромінювання цирконію, що зумовлена переходом електрона з L- на К-оболонку? Для К-серії постійна екранування дорівнює одиниці. [79,9 пм].
Обчислити найбільшу довжину хвилі _max у К-серії характеристичного рентгенівського спектра: 1) заліза; 2) міді; 3) молібдену; 4) вольфраму. Для К-серії постійна екранування дорівнює одиниці. [λ₁=194,5 пм; λ₂=155 пм; λ₃=73,3 пм; λ₄=22,8 пм].
Встановити, які елементи будуть у К-серії характеристичного рентгенівського випромінювання давати спектральні К_ лінії з довжинами хвиль: 1)57,4 пм; 2) 23,4 пм? [1) срібло; 2) тантал].
Довжина хвилі характеристичного рентгенівського випромінювання L-серії вольфраму, яка зумовлена переходом електрона з М- на L-оболонку, дорівнює 143 пм. Чому дорівнює постійна екранування для цієї серії? [6,25].
У рентгенівській трубці антикатод виготовлений з молібдену. 1) Яку довжину хвилі й енергію має квант для лінії К_? 2) Яку найменшу напругу потрібно прикласти до трубки, щоб збудити К-серію молібдену? [72,3 пм; 17,19 кеВ; 17,19 кВ].
Найменша довжина хвилі спектральної водневої лінії серії Бальмера дорівнює 364,6 нм. Визначте по цій довжині хвилі найбільшу довжину хвилі лінії серії Лаймана. [121 нм].
Атом водню утворюється шляхом захвату нерухомим протоном електрона, що рухався недалеко від нього з швидкістю 1,896 м/с, і опиняється у збудженому стані. Визначте частоту кванта світла, що випромінюється атомом водню при його переході в основний стан. [ c⁻¹].
Для рентгенівської трубки з алюмінієвим антикатодом ( ) прикладена напруга в 1,381 кВ. Чи будуть при цьому спостерігатися в характеристичному спектрі випромінювання алюмінію, К-лінії? [Оскільки для збудження лінії потрібна енергія не менше = 2,356 Дж, то енергії, що розвивається в трубці ( = 2,21 Дж), буде недостатньо. Отже -лінії не будуть спостерігатся].
Встановлено, що різниця в довжинах хвиль перших двох спектральних ліній в серії Лаймана дорівнює 19 нм. Визначте за цією інформації сталу Рідберга. [ м⁻¹].
За допомогою дифракційної решітки з періодом 4 мкм спостерігають спектр атомарного водню і встановлюють, що одна із спектральних ліній спостерігається оком в спектрі другого порядку під кутом 9º9´. Визначте, якого кольору буде ця спектральна лінія, та переходу між якими енергетичними рівнями атома водню вона відповідає? [Червона лінія, яка обумовлена переходом з рівня на рівень ].
Визначте швидкість електронів на орбіті у збуджених атомів водню, якщо вони збуджуються з основного стану шляхом поглинання квантів монохроматичного світла з довжиною хвилі 97,2 нм. [ м/с].
Відношення довжини хвилі спектральної лінії серії Бальмера до найбільшої довжини хвилі спектральної лінії серії Лаймана дорівнює 5,399. Визначте, якому переходу електрона відповідає вищезгадана спектральна лінія серії Бальмера? [Перехід з рівня на ].
Атоми водню опромінюються монохроматичним світлом з довжиною хвилі 121 нм. При поглинанні кванта світла атом переходить із основного стану в збуджений. Визначте радіус орбіти електрона в збудженому атомі та його швидкість на цій орбіті. [r=2,13 м; м/с].
Визначте найменшу кінетичну енергію електронів, які при співударах з атомами водню можуть збудити у спектрі випромінювання атомів появу видимої оком спектральної лінії з довжиною хвилі 656 нм. [12,12 еВ].
Переходячи із збудженого стану в основний, один із атомів водню випромінив послідовно два кванти світла з енергіями 2,56 еВ і 10,2 еВ. Визначте, скільки спектральних ліній і яких серій можуть випромінитися багатьма атомами водню, що знаходяться у вищезгаданому збудженому стані? [6 спектральних ліній, з них: 3 лінії серії Лаймана; 2 лінії серії Бальмера; 1 лінія серії Пашена].
Збуджені ударами моноенергетичних електронів атоми водню одержують таку енергію, що переходячи у нижчі енергетичні стани випромінюють всього 6 спектральних ліній. Якою кінетичною енергією володіють електрони? Скільки спектральних ліній при цьому спостерігаються оком, та яка у них довжина хвилі? [12,8 еВ. Спостерігаються оком дві спектральні лінії серії Бальмера з довжинами хвиль = 656 нм і = 486 нм].
Атоми водню при опроміненні їх світлом певної частоти максимально збуджуються до такої енергії, що найбільшій енергії квантів спостережуваної спектральної лінії серії Пашена відповідає довжина хвилі 1282 нм. Скільки спектральних ліній можна побачити оком із всієї кількості випромінюваних спектральних ліній, та яка у них енергія кванта? [Три спектральні лінії з енергіями квантів: 1,89 еВ; 2,56 еВ; 2,86 еВ].
Спектр випромінювання атомарного водню спостерігається за допомогою дифракційної решітки шириною 20 мм і роздільною здатністю у першому порядку дифракції 10000. Якого кольору буде спостережувана оком спектральна лінія, для якої дифракційний максимум другого порядку спостерігається під кутом = 29º ? Якими енергетичними переходами електронів обумовлена ця спектральна лінія? [Зелена спектральна лінія,яка обумовлена переходом з рівня n= 4 на рівень n=2].
Атоми водню збуджуються із основного стану шляхом поглинання квантів монохроматичного світла таким чином, що радіуси орбіт електронів у них збільшуються в 16 разів. Якою найменшою енергією повинні володіти кванти світла? [12,8 еВ].
Скільки всього спектральних ліній можуть випромінитися багатьма однаково збудженими атомами водню, якщо один з них, переходячи в основний стан, послідовно випромінив два кванти з довжинами хвиль 1282 нм і 102,5 нм? [10 спектральних ліній].
Від дифракційної решітки шириною 2 см, на яку нормально падає випромінювання атомарного водню, спостерігається оком спектральний дифракційний максимум другого порядку під кутом = 31,655º. Який колір має ця спектральна лінія та якими енергетичними переходами електронів вона обумовлена, якщо роздільна здатність решітки для другого порядку дифракції дорівнює 1,6∙10⁴. [Червона спектральна лінія, яка обумовлена переходом з рівня n= 3 на рівень n= 2].
Атоми водню після співударяння з моноенергетичними електронами переходять із основного у такий збуджений стан, що радіуси орбіт їхніх електронів збільшуються у 9 разів. Яку енергію мають збуджуючі електрони? Скільки спектральних ліній можуть випромінювати атоми водню при переході їх в основний стан? Обчисліть довжини хвиль цих ліній. [Е= 12,15 еВ. Три спектральні лінії з довжинами хвиль: = 102 нм; = 121 нм; = 654 нм].