Тема 5. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса Сведения из теории

Многие задачи естествознания своими моделями имеют системы линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Линейным уравнением с неизвестными , , , называется уравнение вида: , где , , …, , (мы рассматриваем только вещественные уравнения, т.е. уравнения в которых коэффициенты, свободный член и значения неизвестных являются вещественными числами).

Решением данного уравнения называется упорядоченный набор вещественных чисел , , …, , удовлетворяющих этому уравнению.

Другими словами, упорядоченный набор =( , , …, ) вещественных чисел называется решением уравнения , если числовое равенство истинно.

Системой линейных уравнений с неизвестными , , , называется система вида:

(1) где  , ,

значения неизвестных – вещественные числа.

Заметим, нумерация коэффициентов двойная. Например, (читается “а два пять”). Первый индекс указывает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного, при котором стоит коэффициент. Например, означает, что это коэффициент из второго уравнения при пятом неизвестном. Свободные члены имеют только один индекс – номер уравнения, в котором этот свободный член находится. Например, означает, что это свободный член седьмого уравнения.

Число уравнений может равняться числу неизвестных . В этом случае система называется квадратной – го порядка.

Число может быть меньше , число может быть больше В этом случае система называется прямоугольной.

По поведению свободных членов системы подразделяют на два типа: однородные и неоднородные.

Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

Система линейных уравнений называется неоднородной, хотя бы один из ее свободных членов отличен от нуля.

Решением системы (1) называется такой упорядоченный набор вещественных чисел , , …, , который удовлетворяет каждому уравнению системы.

Другими словами, упорядоченный набор =( , , …, ) называется решением системы (1), если система числовых равенств

(2) – истина.

Решить систему – это значит найти множество ее решений.

Если множество решений системы не пустое, то система называется совместной.

Если множество решений системы пустое, то система называется несовместной.

Если длина множества решений системы равна 1 (т.е. система имеет только одно решение), то система называется совместной и определенной.

Если длина множества решений системы больше единицы (т.е. система имеет хотя бы два решения), то система называется совместной, но неопределенной.

Решить линейную систему (найти множество ее решений) можно различными способами.

В данной теме мы рассмотрим метод, который называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.

Метод Гаусса базируется на применении следующих свойств решений линейной системы уравнений.

Напомним, две системы линейных уравнений называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Теорема 1. Если в системе поменять местами два уравнения, то система переходит в эквивалентную ей систему.

Теорема 2. Если в системе какое-нибудь уравнение умножить (разделить) на число, отличное от нуля, то получится система, эквивалентная заданной.

Теорема 3. Если в системе отбросить нулевое уравнение, то система перейдет в эквивалентную ей систему.

Теорема 4. Если в системе есть два одинаковых уравнения, и одно из них отбросить, то система перейдет в эквивалентную систему.

Теорема 5. Если в системе есть два пропорциональных уравнения, и одно из них отбросить, то система перейдет в эквивалентную систему.

Теорема 6. Если в системе к какому-нибудь уравнению прибавить другое уравнение этой же системы, умноженное на любое число, то получится система, эквивалентная заданной.

Все доказательства указанных теорем проводятся на основании определений решения линейного уравнения с неизвестными и решения системы линейных уравнений.

Заметим, что запись системы зависит от числа неизвестных, значений коэффициентов и свободных членов, но не зависит от названия неизвестных, а только от их номеров (неизвестные менять местами нельзя).

Поэтому систему удобнее записывать в виде таблицы (матрицы), состоящей из коэффициентов и свободных членов системы, где вместо знаков «=» будет стоять вертикальная черта, отделяющая свободные члены от коэффициентов.

Именно, вместо стандартной записи системы (1) мы будем иметь ее запись в виде следующей таблицы:

.

Например, система будет иметь следующую таблицу: .

Заметим, если в каком-то уравнении системы пропущена запись неизвестного, то это значит, что у этого неизвестного коэффициент равен нулю.

Если известно количество неизвестных системы и их обозначение, то по таблице системы можно восстановить стандартную запись системы.

Например, известно, что система линейных уравнений имеет неизвестные а, b, с и имеет таблицу:

.

В стандартном виде система имеет вид: или

Итак, теперь систему мы будем называть матрицей (таблицей), уравнение – строкой этой матрицы. Например, вместо «второе уравнение системы» мы будем говорить «вторая строка матрицы».

Тогда перечисленные выше теоремы 1–6 будут звучать на языке «матрица, строки» и могут быть сформулированы следующим образом:

Матрицу системы мы имеем право преобразовать:

1. менять в ней местами строки;

2. умножать делить все элементы строки на число, отличное от нуля;

3. отбрасывать нулевую строку;

4. из двух одинаковых строк одну отбрасывать;

5. из двух пропорциональных строк одну отбрасывать;

6. к строке матрицы прибавлять другую строку этой же матрицы, умноженное на любое число.

При этом мы будем получать матрицу системы, эквивалентной исходной.

Заметим, чтобы умножить строку на число, надо элемент (число) этой строки умножить на это число; чтобы к строке прибавить другую строку, надо к каждому элементу данной строки прибавить соответствующий элемент другой строки.

Метод Гаусса предполагает выполнение специальных стандартных шагов преобразования исходной системы для получения эквивалентной системы наиболее простой конструкции.

Рассмотрим применение метода Гаусса на конкретном примере.

Пусть дана система линейных уравнений:

Запишем систему в виде матрицы: .

1 шаг. Среди строк таблицы выбираем одну (любую), в которой содержится хотя бы один отличный от нуля коэффициент. В нашем примере в качестве такой строки подойдет и первая, и вторая, и третья. Отметим первую, обведем ее в рамку. Эту сроку назовем рабочей строкой.

.

Среди коэффициентов (чисел слева от вертикальной черты) отметим любой отличный от нуля. В нашем примере это любой из чисел 1, 1, 1. Пусть это будет второй коэффициент. Этот элемент назовем ведущим. Заключим в рамочку весь столбик, в котором находится ведущий элемент.

.

Теперь с помощью рабочей строки изменим все остальные с помощью преобразований 1–6) так, чтобы против ведущего элемента в отмеченном столбце получились нули.

 .

Здесь мы ко второй строке прибавили рабочую, умноженную на (-1), а к третьей строке прибавили рабочую, умноженную на (-1).

Смотрим, не получилась ли в результате нулевая строка. Если получилась, то ее отбросим.

Смотрим, не получились ли две одинаковые строки. Если «да», то одну из них отбросим.

Смотрим, не получились ли две пропорциональные строки. Если «да», то одну из них отбросим.

Смотрим, не имеют ли все элементы какой-либо строки общий множитель, отличный от нуля. Если «да», то эту строку на этот множитель разделим.

На этом заканчивается первый шаг.

2 шаг. Среди строк последней таблицы, которые не были рабочими, отмечаем рабочую и в ней отмечаем ведущий элемент. С помощью преобразований 1–6) в столбце, в котором находится ведущий элемент, напротив ведущего элемента получаем нули. В нашем примере:

 .

Из строк полученной матрицы отбрасываем нулевую (если она возникла), одну из двух одинаковых строк (если они возникли), одну из пропорциональных строк (если они возникли), произведем деление на общий множитель всех элементов строки (если такая возникла).

На этом заканчивается второй шаг.

И так далее до тех пор, пока все строки таблицы не побывают рабочими.

В нашем примере:

  

 .

В итоге могут возникнуть следующие три случая.

Случай 1.

Среди строк итоговой матрицы найдется строка, в которой все элементы равны нулю, а свободный член отличен от нуля. Например, . Восстановив по этой строке уравнение, мы получим: . Это уравнение явно не имеет решений. Т. е., в таком случае система несовместна.

Случай 2.

Итоговая таблица имеет столько же строк, сколько в системе имеется неизвестных. И ни одна из строк не показывает на несовместность системы. Например,

.

В этом случае по таблице восстанавливаем стандартную запись системы. В этой системе каждое уравнение будет содержать только по одному неизвестному с коэффициентом, отличным от нуля. Все остальные коэффициенты будут равны нулю. Например:

Обычно, члены с нулевыми коэффициентами не пишут:

Разделим каждое уравнение получившейся системы на отличный от нуля коэффициент этого уравнения: . Получилась система простейшего вида, эквивалентная исходной. Последняя система явно имеет только одно решение .

Обратимся к первоначальному примеру.

  

 ; . Система имеет только одно решение =(0; 1; 0), значит и исходная система имеет только одно решение =(0;1;0).

Случай 3.

Итоговая таблица имеет строк меньше, чем число неизвестных.

Например:

-1

-2

отбрасываем

  

 . Последняя таблица имеет две строки, а неизвестных системы четыре.

Среди столбиков коэффициентов последней таблицы отмечаем столько, сколько строк в этой таблице. Именно, отмечаем такие столбики, которые после перестановки могут задать таблицу, в которой все элементы главной диагонали (элементы, стоящие по диагонали с верхнего угла к правому нижнему) были отличны от нуля, а все остальные элементы – нули:

, .

В нашем примере этими столбиками могут быть первый и второй. Если в уме их поменять местами, то получится

Неизвестные, коэффициенты которых попали в отмеченные столбики, называют главными. В нашем примере это х₁ и х₂. Все остальные неизвестные называются свободными.

Теперь по последней таблице восстанавливаем стандартную запись системы так, чтобы слева от знаков “=” были члены только с главными неизвестными, а справа – только свободные члены и члены со свободными неизвестными.

При этом: 1) если коэффициент главного неизвестного в уравнении равен нулю, то этот член писать не будем; 2) если коэффициент свободного неизвестного равен нулю, то этот член будем писать обязательно; 3) нумерация неизвестных в каждом уравнении слева от знака “=” возрастающая, справа – тоже возрастающая.

В нашем примере: х₁, х₂ – главные неизвестные, х₃, х₄ – свободные неизвестные.

Если свободным неизвестным придать конкретные числовые значения, то согласно последней системе мы найдем соответствующие числовые значения главных неизвестных и тем самым найдем решение последней системы, а, следовательно, заданной.

Например, ₁ = (1-6+0; 0+3-5; 3; 5) = (-5; -2; 3; 5.)

Это так называемое «частное решение» системы.

Итак, частное решение системы получается при конкретных (частных) числовых заданиях свободных неизвестных систем. Т. к. свободных неизвестных у системы по крайней мере одно, и оно может принять любое числовое значение из , то частных решений будет бесконечно много. Чтобы описать (задать) бесконечное множество, нужно указать характеристическое свойство его элементов. Это можно сделать следующим образом. Обозначим множество решений нашей системы М. Тогда

М = {  = (1-2с₁+0с₂; 0+с₁-с₂; с₁ ;с₂), с₁, с₂  }.

Решение системы записанное в виде

 = (1-2с₁+0с₂; 0+с₁-с₂; с₁ ;с₂) = (1-2с₁; с₁-с₂;с₁ ; с₂).

Называют общим решением системы.

Другими словами, общим решение системы с бесконечным множеством решений называют решение, в котором свободным неизвестным приписаны значения, обозначенные буквами, в зависимости от которых произведена запись главных неизвестных.

Заметим, т. к. выбор главных неизвестных, а следовательно, и свободных, может происходить неоднозначно, то вид записи общего решения тоже неоднозначен.

Например, в нашем случае в качестве главных неизвестных можно взять х₁ и х₄. тогда свободными неизвестными будут х₂ и х₃.

Итоговая система принимает вид:

И общее решение системы будет иметь вид:

 = (1+0с₁-2с₂; с₁ ;с2; 0-с₁+с₂) = (1-2с₂; с₁; с₂; -с₁+с₂), с₁, с₂  .