Образцы решения заданий
Найдите объединение, разность и пересечение множеств и , если
,
,
Решение:
Если изобразить данные множества на
числовой прямой (1), то объединение
есть часть прямой, где имеется хотя бы
одна штриховка, т. е. отрезок
.
Другими словами,
.
Разность
есть часть отрезка, изображающего
множество
,
отмеченная лишь одной штриховкой, т. е.
полуинтервал
.
Другими словами
.
Пересечение
есть часть прямой, где имеется двойная
штриховка, т. е. отрезок
.
Другими словами,
.
(1)
Доказать, что для любых множеств , , верно:
.
Решение.
1) Пусть
,
,
.
Обозначим
,
.
Значит,
и
т. е.
.
Если
,
то
,
,
т. е.
.
Если
,
то
,
,
т. е.
.
Аналогично, если
.
Если
,
то
,
,
т. е.
.
Доказать, что для любых множеств и верно:
.
Решение.
1) Пусть
,
и
,
Значит, и т. е. .
2)
Если
,
то
,
,
т. е.
.
Аналогично, если
.
Если
,
то
,
,
т. е.
.
Упражнения
Найдите объединение, пересечение, разность множеств и , если
а)
,
; б)
,
В=
;
в)
,
.
Даны множества: – тупоугольных треугольников, – прямоугольных треугольников, – треугольников с углом в 500. Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна, выделив штриховкой область, изображающую множество
.
– множество
правильных многоугольников,
– множество прямоугольников. Из каких
фигур состоит пересечение и объединение
множеств
и
.
Какие из фигур, изображенных на рис 2,
принадлежат пересечению множеств
и
,
а какие – их объединению?
Рис. 2
– множество натуральных чисел, кратных 3, – множество натуральных чисел, кратных 7. Задайте характеристическим свойством элементов множество и назовите три числа, принадлежащих этому множеству.
Пусть
,
,
.
Найди длину множества:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
.
Пусть
.
Верно ли, что
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
?
Найдите дополнение к множеству в множестве , если
а)
;
б)
;
в)
.
Найдите дополнение в множестве всех треугольников к множеству:
а) всех равносторонних треугольников;
б) всех равнобедренных треугольников;
в) всех прямоугольных треугольников.
Для любых множеств , , доказать, что:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
; з)
;
и)
.
Результат проиллюстрировать на кругах Эйлера-Венна.
Докажите, что для любых подмножеств и универсального множества
справедливы следующие равенства:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
ж)
.
Индивидуальное задание
Даны следующие пары множеств:
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;– множество нечетных натуральных чисел;
– множество простых чисел, больших, чем 2,
– множество четных натуральных чисел;
– множество простых чисел, больших, чем 2.
Задание: а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество;
б)
связаны ли пары одним из соотношений:
=,
,
;
в) найдите пересечение ;
г) найдите разности ;
д) найдите ;
е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна.
Докажите равенство множеств.
1)
а)
, 2)
а)
,
б)
, б)
,
в)
; в)
;
3)
а)
, 4)
а)
,
б)
, б)
в)
; в)
,
5)
а)
, 6)
а)
,
б)
, б)
,
в)
; в)
;
7)
а)
, 8)
а)
,
б)
, б)
,
в)
; в)
;
9)
а)
, 10)
а)
,
б)
, б)
,
в)
; в)
.