Формулы сложения вероятностей.

Как мы уже покали, если A₁ и A₂ - несовместные события, то

P(A₁UA₂) = P(A₁) + P(A₂)

Если A₁ и A₂ — совместные события, то A₁UA₂ =(A₁\ A₂)UA₂, причем очевидно, что A₁\A₂ и A₂ — несовместные события. Отсюда следует:

P(A₁UA₂) = P(A₁\ A₂) + P(A₂) (*)

Далее очевидно: A₁ = (A₁\ A₂)U(A₁∩A₂), причем A₁\ A₂ и A₁∩A₂ - несовместные события, откуда следует: P(A₁) = P(A₁\ A₂) + P(A₁∩A₂) Найдем из этой формулы выражение для P(A₁\ A₂) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:

P(A₁UA₂) = P(A₁) + P(A₂) – P(A₁∩A₂) (общий вид формулы сложения вероятностей)

Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив A₁∩A₂ = .

При м е р 1. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора.

Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй - 0,3.

Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Реш е н и е. События А " попадание в первый сектор" и В - "попадание

во второй сектор" несовместны (попадание в один сектор исключает

попадание во второй), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий. В соответствии с этой теоремой находим искомую вероятность:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.

П р и м е р 2. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена

0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга

сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень

попадет хотя бы один спортсмен?

Решение. Введем обозначения: события А. - "попадание первого

спортсмена", В - "попадание второго спортсмена", С - "попадание хотя

бы одного из спортсменов". Очевидно, А + В = С, причем события А и В

совместны. В соответствии с общей формулой сложения вероятностей получаем

Р(С) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ), а поскольку А и В независимы

Р(С) = Р(А)+ Р(В)-Р(А)Р(В),

Подставив данные значения Р(А) = 0,85, Р(В) = 0,8 в формулу

для Р( С) , найдем искомую вероятность Р( С) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97 .

Замечание. Следует помнить, что при использовании теоремы сложения вероятностей нужно проверять несовместность событий, а при использовании теоремы умножения независимость событий.

Пусть пространство элементарных событий  разбивается на непересекающиеся события (события , не имеющие общих исходов), их вероятности можно вычислить. Кроме того, можно вычислить условную вероятность некоторых событий, при условии, что произошло событие из указанной группы. В этом случае оказывается удобным использовать формулу полной вероятности и следующую из нее формулу Байеса.

Формула полной вероятности.

Определение Группа событий H₁, H₂,..., H_n называется полной группой событий, если выполняются следующие условия:

1) Все события попарно несовместны: H_i ∩ H_j =Æ; i, j=1,2,...,n; i¹j

2) Их объединение образует пространство элементарных исходов :

=H₁U H₂U ... U H_n.

Рис.1

Замечание. Обозначения H₁, H₂,...,H_n отсылают к статистике, где они обозначают гипотезы (от английского Hypothesis)

Пусть А - некоторое событие: А   (рис.1). Тогда имеет место формула полной вероятности:

P(A) = P(A/ H₁)P(H₁) + P(A/ H₂)P(H₂) + ...+ P(A/ H_n)P(H_n) =

Доказательство. Очевидно: A = (A∩H₁) U (A∩H₂) U...U (A∩H_n), причем все события A∩H_i (i = 1,2,...,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P(A) = P(A∩H₁) + P(A∩H₁) +...+P(A∩H_n )

Если учесть, что по теореме умножения P(A∩H_i) = P(A/H_i)P(H_i),

(i = 1,2,...,n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример 1. На книжном складе находятся учебники, напечатанные в трех типографиях, причем доля первой типографии - 30%, второй - 50%, третьей - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 0,5%, 0,3% и 0,2%. Какова вероятность того, что случайно полученный на складе учебник оказалась бракованным?

Пусть событие H₁ состоит в том, что выбранный учебник напечатан в первой типографии, H₂ ч – на второй и H₃, соответственно на третьей. чевидно:

P(H₁) = 3/10, P(H₂) = 5/10, P(H₃) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/H_i означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A/H₁) = 5/1000; P(A/H₂) = 3/1000; P(A/H₃) = 2/1000

По формуле полной вероятности получаем