Приложение Парадокс игры в кости и Парадокс де Мере из главы 1 «Классические парадоксы теории вероятностей» книги г.Секей «Парадоксы теории вероятностей и математической статистики»
Статистическое определение вероятности.
Вероятность проявляет себя , когда один и то же случайный эксперимент проводится много раз, причем так, что результаты уже проведенных экспериментов никак не влияют на последующие. При этих условиях частота наступления события при неограниченном возрастании числа экспериментов стремится к вероятности события.
Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость более часто будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n-достаточно большое число, скажем n=1000 или n=5000), подсчитать число выпадений трех очков n3 и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n3/n - относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов — единицы, двойки, четверки и т.д.
Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные
исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.
Относительной частотой события, или частотой, называется отношение
числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда по определению W(A)= m/n ,
где m - число опытов, в которых появилось событие А; n - число всех произведенных опытов.
Частота события обладает следующими свойствами.
1. Частота случайного события есть число, заключенное между нулем
и единицей:
0< W(A) < 1
2. Частота достоверного события Ω равна единице:
W(Ω) = 1
3. Частота невозможного события Ø равна:
W(Ø)=0.
4. Частота суммы двух несовместных событий А и В равна сумме
частот этих событий:
W(A + В) = W(A) + W(B)
Наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает
свойствами статистической устойчивости: в различных сериях
многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или
не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие
к некоторой постоянной. эту постоянную, являющуюся объективной
числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
(Статистической) вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.
Более строго, статистическая вероятность P(i) определяется как предел относительной частоты появления исхода i в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n, то есть
,
где mn(i) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода i.
В случае статистического определения вероятность обладает теми же свойствами, что и вероятность, определенная по классической схеме:
свойствами: 1) вероятность достоверного события равна единице;
2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность
случайного события заключена между нулем и единицей; 4) вероятность
суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
При м е р 1. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 10 бракованных. Какова частота бракованных деталей?
W = 10/500 = 1/50 = 0,2