V. Обоснование гипотезы о предполагаемом законе распределения.

По виду полигона и гистограммы (рис.1) было сделано предположение, что СВ Х подчинена нормальному закону. Из этого предположения удалось вычислить теоретические частоты и построить теоретическую кривую нормального распределения, что ещё более подтверждает, что генеральная совокупность СВ Х подчинена нормальному закону.

Однако высказанную гипотезу ( называют её нулевой ) необходимо подтвердить, т.е. требуется проверить согласованность имеющегося эмпирического материала с предполагаемым теоретическим распределением случайной величины в генеральной совокупности.

Проверка осуществляется с помощью специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Применим критерий согласия - « хи квадрат» (критерий Пирсона). С этой целью будем сравнивать эмпирические ( наблюдаемые ) частоты и теоретические частоты по формуле

…………. ……………..(2)

Составим расчетную таблицу 9.

По таблице критических точек распределения ( Гмурман В.Е., приложение 5) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , где s – число частичных интервалов, r - число параметров предполагаемого распределения СВ Х, найдём критическое значение .

Таблица 9

					Расчет для контроля
2 3 7 8 15 9 4 2	1 3 7 11 12 9 5 2	1 0 0 -3 3 0 -1 0	1 0 0 9 9 0 1 0	1 0 0 0,82 0,75 0 0,2 0	4 9 49 64 225 81 16 4	4,00 3,00 7,00 5,82 18,75 9,00 3,20 2,00
50	50			2,77		52,77

В нашем случае число степеней свободы , а уровень значимости  = 0,05 ( по заданию). По приложению 5 находим:

В таблице 9 найдено:

Так как , то нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности СВ Х.

Для контроля вычислений формулу (2) преобразуют к виду ; имеем :

6. Отыскание интервальных оценок параметров нормального закона.

Найдём интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности СВ Х.

1). Для математического ожидания:

,

где n - объём выборки, - выборочное среднее, - исправленное среднее квадратическое отклонение.

- находится по данной надёжности (доверительной вероятности) и объёму выборки n по приложению 3 (см. Гмурман В.Е.). Приняв за надёжность = 0,95 ( в соответствии с заданием ) , n = 50, получаем: 2,009. Тогда

,

т.е. .

Итак, с надёжностью 0,95 математическое ожидание а заключено в доверительном интервале ( 87,39 ; 102,37 ).

2). Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратическое генеральной совокупности с заданной надёжностью , находится по формуле , если q < 1 ……………….(3)

или , если q > 1,

где - исправленное среднее квадратическое отклонение.

q находят по приложению 4 ( Гмурман В.Е. ) по данным n - объёму выборки и надежности . В нашем случае

, .

По формуле (3) находим: или .

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности изучаемой СВ Х заключено в интервале ( 20,81 ; 31,88 ).