Выбор закона распределения.
Построенные полигон и гистограмма относительных частот ( рис. 1) напоминают нормальную кривую ( кривую Гаусса ). Поэтому есть основания предположить, что изучаемая СВ Х распределена по нормальному закону. Но эту гипотезу надлежит проверить.
В этих целях вычисляют теоретические частоты ( выравнивающие частоты ) и по ним строят кривую.
Первый способ. Один из способов построения нормальной кривой по данным наблюдений состоит в следующем:
1).
Находят
и
;
2).
Определяют ординаты
( выравнивающие частоты ) по формуле
,
где n - объём выборки , h - шаг ( длина частичного интервала ) ;
,
- нормированная плотность нормального
распределения ( В.Е.Гмурман, приложение
1).
В нашем случае
.
Вычисления проведены в таблице 6.
Замечание. В последнем столбце таблицы указаны теоретические частоты, которые получаются округлением до ближайшего целого числа предыдущих значений.
На
рис. 3 построена нормальная (теоретическая)
кривая по выравнивающим частотам
и полигон наблюдаемых частот. Сравнение
графиков наглядно показывает, что
построенная теоретическая кривая
нормального распределения удовлетворительно
отражает данные наблюдений.
Таблица 6
|
|
|
|
|
|
|
36 52 68 84 100 116 132 148
|
2 3 7 8 15 9 4 2
|
-58,88 -42,88 -26,88 -10,88 5,12 21,12 37,12 53,12 |
-2,26 -1,64 -1,03 -0,42 0,20 0,81 1,42 2,04 |
0,0310 0,1040 0,2347 0,3652 0,3910 0,2874 0,1456 0,0498 |
0,95 3,20 7,20 11,20 11,99 8,81 4,57 1,53 |
1 3 7 11 12 9 5 2 |
|
50 |
|
|
|
|
50 |
Рис.3
Второй способ ( с использованием функции Лапласа ).
1).
Находят
2).
Составляют новые интервалы
, концы которых вычисляют по формулам:
, причем наименьшее значение
полагают равным
, а наибольшее значение
полагают равным
.
3).
Вычисляют теоретическую вероятность
попадания случайной величины Х в
интервал
по равенству
,
где
- функция Лапласа ( см. В.Е.Гмурман,
приложение 2 ).
4).
Теоретические частоты находят по
формуле
, где n
– объём
выборки.
Непосредственные вычисления проведём в таблицах 7, 8.
1).
В таблице 7 найдём интервалы
.
Таблица 7
Границы частичных интервалов |
Часто-ты
|
|
|
|
|
||||||
|
|
||||||||||
28 44 60 76 92 108 124 140
|
44 60 76 92 108 124 140 156 |
2 3 7 8 15 9 4 2 |
13,12 29,12 45,12 |
-50,88 -34,88 -18,88 -2,88 13,12 29,12 45,12 61,12 |
-1,95 -1,34 -0,72 -0,11 0,50 1,12 1,73
|
-1,95 -1,34 -0,72 -0,11 0,50 1,12 1,73 +
|
|||||
2).
В таблице 8 найдены теоретические
вероятности
и по ним - теоретические частоты
.
Получены те же результаты, что и при
первом способе (см. табл. 6 ).
Таблица 8
Границы интервала |
|
|
|
|
Исправ- ленное
|
|
|
|
|||||
- -1,95 -1,34 -0,72 -0,11 0,50 1,12 1,73
|
-1,95 -1,34 -0,72 -0,11 0,50 1,12 1,73 + |
-0,5000 -0,4744 -0,4099 -0,2642 -0,0438 0,1915 0,3686 0,4582 |
-0,4744 -0,4099 -0,2642 -0,0438 0,1915 0,3686 0,4582 0,5000 |
0,0256 0,0645 0,1457 0,2204 0,2353 0,1771 0,0896 0,0418 |
1,28 3,23 7,29 11,02 11,77 8,86 4,48 2,09 |
1 3 7 11 12 9 4+1 2 |
|
|
|
|
1,0000 |
|
49+1=50 |
