- •Программа дисциплины
- •Тема 1 общая характеристика и классификация математических методов и моделей, применяемых в экономических исследованиях Предмет математического программирования
- •Общая схема формирования экономико-математической модели
- •Классификация методов математического программирования
- •Тема 2 линейное программирование Задача линейного программирования (злп)
- •Формы записи задач линейного программирования
- •Приемы, позволяющие переходить от одной формы записи условий задач к другой
- •Графический метод решения злп
- •Симплекс-метод решения злп
- •Алгоритм симплекс-метода
- •Геометрическая интерпретация в случае двух переменных
- •Отыскание начального опорного плана (1-ый пункт алгоритма)
- •Отыскание начального опорного плана методом искусственного базиса
- •Отыскание начального опорного плана путем преобразования таблицы Жордана
- •Шаг Жордановых исключений осуществляется по следующим правилам:
- •Исследование на оптимальность опорного плана при минимизации целевой функции (второй пункт алгоритма)
- •Переход к новому, нехудшему опорному плану (третий пункт алгоритма)
- •Тема 3 транспортная задача линейного программирования Постановка транспортной задачи по критерию стоимости в матричной форме
- •Закрытая и открытая модели транспортной задачи
- •Алгоритм решения сбалансированной транспортной задачи
- •Построение исходного опорного плана (первый пункт алгоритма)
- •Проверка на оптимальность невырожденного опорного плана методом потенциалов (второй пункт алгоритма)
- •Переход к нехудшему опорному плану (третий пункт алгоритма)
- •Цикл пересчета
- •Тема 4 динамическое программирование
- •I этап. Условная оптимизация
- •II этап. Безусловная оптимизация
- •Задача об оптимальной стратегии замены оборудования
- •I этап. Условная оптимизация
- •II этап. Безусловная оптимизация
- •Литература
- •Тема 1 общая характеристика и классификация математических методов и моделей, применяемых в экономических исследованиях 3
- •Тема 2 линейное программирование 6
- •Тема 3 транспортная задача линейного программирования 33
- •Тема 4 динамическое программирование 50
Формы записи задач линейного программирования
Симметричной (стандартной) формой записи ЗЛП называется задача максимизации целевой функции (2.1) при ограничениях вида (2.2) и (2.5) или задача минимизации целевой функции (2.1) при ограничениях вида (2.4) и (2.5), т.е.
;
,
или ;
,
,
где – заданные действительные числа.
Канонической формой записи ЗЛП называется задача минимизации или максимизации целевой функции (2.1) при ограничениях вида (2.3) и (2.5), т.е.
Приемы, позволяющие переходить от одной формы записи условий задач к другой
Переход от задачи на минимум к задаче на максимум осуществляется умножением целевой функции на «–1». Действительно, если функция достигает минимума при значениях , то функция достигает при тех же значениях переменных максимума.
Переход от неравенства вида к неравенствам вида (и наоборот) также осуществляется умножением исходного неравенства на –1.
Переход от неравенства к равенству осуществляется введением дополнительной неотрицательной переменной . К примеру, если первое ограничение имеет вид , то, вводя неотрицательную переменную , получим , если второе ограничение имеет вид , то, вводя неотрицательную переменную , получим
При переходе от равенств к неравенствам можно руководствоваться следующим: если дано А=B, то это можно формально записать в виде двух неравенств А В, А В;
Введение условий неотрицательности переменных. Пусть на переменную это условие не было наложено, тогда вместо этой переменной можно ввести две неотрицательные переменные и и представить , где . Это всегда возможно.
Изложенными приемами общая ЗЛП может быть сведена к симметричной и канонической формам записи ЗЛП и наоборот. Однако, поскольку в процессе таких преобразований мы вводили дополнительные переменные, то после того, как задача решена, нужно произвести обратный переход к исходным переменным, определяющим непосредственный экономический смысл задачи.
Пример 4
Пусть математическая модель задачи имеет следующий вид
;
Для получения общей задачи линейного программирования необходимо, чтобы на все переменные было наложено условие неотрицательности. Для наложения этого ограничения на переменную воспользуемся правилом 5. Введем новые неотрицательные переменные и и представим , где и .
Тогда ОЗЛП будет иметь вид
;
или (раскрыв скобки):
;
В симметричной (стандартной) форме записи задача будет иметь вид
;
Здесь ограничение (2.6) умножено на –1, а ограничение (2.7) заменено двумя ограничениями:
откуда, домножив второе ограничение на –1, получим ограничение (2.9) вида .
Таким образом, из ограничения (2.7) получены ограничения (2.8) и (2.9).
В канонической форме записи ЗЛП будет иметь вид
;
Пример 5
Экономико-математическую модель задачи, составленную в примере 2, представим в канонической форме записи:
;
Введенные дополнительные переменные и имеют экономический смысл, связанный с содержанием задачи. Здесь , – время простоя оборудования А1 и А2 соответственно.