- •Программа дисциплины
- •Тема 1 общая характеристика и классификация математических методов и моделей, применяемых в экономических исследованиях Предмет математического программирования
- •Общая схема формирования экономико-математической модели
- •Классификация методов математического программирования
- •Тема 2 линейное программирование Задача линейного программирования (злп)
- •Формы записи задач линейного программирования
- •Приемы, позволяющие переходить от одной формы записи условий задач к другой
- •Графический метод решения злп
- •Симплекс-метод решения злп
- •Алгоритм симплекс-метода
- •Геометрическая интерпретация в случае двух переменных
- •Отыскание начального опорного плана (1-ый пункт алгоритма)
- •Отыскание начального опорного плана методом искусственного базиса
- •Отыскание начального опорного плана путем преобразования таблицы Жордана
- •Шаг Жордановых исключений осуществляется по следующим правилам:
- •Исследование на оптимальность опорного плана при минимизации целевой функции (второй пункт алгоритма)
- •Переход к новому, нехудшему опорному плану (третий пункт алгоритма)
- •Тема 3 транспортная задача линейного программирования Постановка транспортной задачи по критерию стоимости в матричной форме
- •Закрытая и открытая модели транспортной задачи
- •Алгоритм решения сбалансированной транспортной задачи
- •Построение исходного опорного плана (первый пункт алгоритма)
- •Проверка на оптимальность невырожденного опорного плана методом потенциалов (второй пункт алгоритма)
- •Переход к нехудшему опорному плану (третий пункт алгоритма)
- •Цикл пересчета
- •Тема 4 динамическое программирование
- •I этап. Условная оптимизация
- •II этап. Безусловная оптимизация
- •Задача об оптимальной стратегии замены оборудования
- •I этап. Условная оптимизация
- •II этап. Безусловная оптимизация
- •Литература
- •Тема 1 общая характеристика и классификация математических методов и моделей, применяемых в экономических исследованиях 3
- •Тема 2 линейное программирование 6
- •Тема 3 транспортная задача линейного программирования 33
- •Тема 4 динамическое программирование 50
I этап. Условная оптимизация
1-й шаг. Находим по формуле (4.2).
Пусть , тогда .
При ,
.
При ,
.
При ,
При ,
При ,
При ,
При ,
Результаты вычислений и полученные соответствующие условно оптимальные значения запишем в виде таблицы 22.
Таблица 22
Объем капиталовложений X, выделяемых первому предприятию, млн. руб. |
Максимальный прирост выпуска продукции, млн. руб. |
Условно оптимальный объем капиталовложений , выделяемый первому предприятию, млн. руб. |
0 |
0 |
0 |
100 |
30 |
100 |
200 |
50 |
200 |
300 |
90 |
300 |
400 |
110 |
400 |
500 |
170 |
500 |
600 |
180 |
600 |
700 |
210 |
700 |
2-й шаг. Используя полученную таблицу, определим условно оптимальные объемы капиталовложений, выделенных второму предприятию. Для этого находим по формуле (4.3)
Пусть , тогда
При ,
При ,
При ,
При ,
При
При
При ,
Полученные результаты и найденные условно оптимальные объемы капиталовложений второму предприятию записываем в виде таблицы 23.
Таблица 23
Объем капиталовложений X, выделенных двум предприятиям, млн. руб. |
Максимальный прирост выпуска продукции первым и вторым предприятиями вместе, млн. руб. |
Условно оптимальный объем капиталовложений , выделяемых второму предприятию, млн. руб. |
0 |
0 |
0 |
100 |
50 |
100 |
200 |
80 |
100,200 |
300 |
110 |
200 |
400 |
150 |
400 |
500 |
190 |
500 |
600 |
220 |
100,500 |
700 |
250 |
200 |
3-й шаг. Переходим к нахождению значений по формуле (4.4).
Так как теперь предприятий три, то им будет выделен весь объем капиталовложений, т.е. X = 700.
II этап. Безусловная оптимизация
Определяем компоненты оптимальной стратегии.
1-й шаг. Итак, максимальный прирост выпуска продукции составит 270 млн. руб. При этом третьему предприятию нужно выделить = 600 млн. руб.
2-й шаг. Тогда и по таблице 23 находим, что максимальный прирост выпуска продукции при распределении 100 млн. руб. будет при , следовательно, второму предприятию нужно выделить = 100 млн. руб.
3-й шаг. Так как , то . Значит первому предприятию нужно выделить = 0 млн. руб.
Итак, оптимальный план распределения капиталовложений между предприятиями обеспечит максимальное увеличение выпуска продукции в размере млн. руб. или в качестве проверки
= 270 (млн. руб.)
Задача об оптимальной стратегии замены оборудования
Известно, что оборудование со временем изнашивается, физически и морально стареет. В процессе эксплуатации падает производительность, и растут эксплуатационные расходы на текущий ремонт. Со временем возникает необходимость замены оборудования, так как его дальнейшая эксплуатация обходится дороже, чем замена. Отсюда задача о замене оборудования может быть сформулирована следующим образом.
Разработать оптимальную стратегию замены оборудования возраста лет в плановом периоде продолжительностью лет, если известны:
– стоимость продукции, производимой в течение года на оборудовании возраста лет ( );
– ежегодные расходы, связанные с эксплуатацией оборудования возраста лет ( );
– остаточная стоимость оборудования возраста лет;
– стоимость нового оборудования и расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском.
В начале каждого года имеется две возможности: сохранить оборудование и получить прибыль или заменить его и получить прибыль . Прибыль от использования оборудования в последнем -м году планового периода запишется в следующем виде:
(4.5)
а прибыль от использования оборудования в период с -го по -й год –
(4.6)
где – прибыль от использования оборудования в период с -го по -й год.
В случае, если оба управления («сохранение» и «замена») приводят к одной и той же прибыли, то целесообразно выбрать управление «сохранение».
Пример 10
Найти оптимальную стратегию замены оборудования возраста 3 года на период продолжительностью 10 лет, если для каждого года планового периода известны стоимость продукции, производимой с использованием этого оборудования, и эксплутационные расходы (таблица 24). Известны также остаточная стоимость, не зависящая от возраста оборудования и составляющая 4 ден. ед., и стоимость нового оборудования, равная 18 ден. ед., не меняющаяся в плановом периоде.
Таблица 24
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
31 |
30 |
28 |
28 |
27 |
26 |
26 |
25 |
24 |
24 |
23 |
|
8 |
9 |
9 |
10 |
10 |
10 |
11 |
12 |
14 |
16 |
18 |
Решение