Глава 3. Функции

Понятие функции может быть уже известным читателю, однако в этой главе мы будем рассматривать функции как множество бинарных отношений. Собственно, будет дано определение функции и близкого к ней понятия отображения и изучены различные свойства, которыми они обладают. Затем функции будут использованы для того, чтобы формализовать процесс вычислений и дать определение мощности множества. В заключение будут рассмотрены конкретные функции, представляющие особый интерес, и функции, которые удобно определить с помощью операторов.

§ 1. Функции и отображения

Определение. Бинарное отношение ρ между множествами А и В является функцией, если из aρb и а ρ c следует, что b= с; поэтому для любого xϵA существует одно yϵB такое, что хρу. Можно дать определение функции следующим образом:

ρ(х)=ø или ρ(х)={y}. //

Следует помнить, что если ρ(х) существует (т. е. ρ(х)≠ø), то этот элемент единствен. В случае, когда р(х)≠ø, обычно опускают скобки при обозначении множества и записывают

y=ρ(x)

Функции обычно обозначают строчными латинскими буквами f, g,h, ... или в специальных случаях особыми сочетаниями, например sin, log, F_n, ... Если f—функция между множествами А и В, то этот факт может быть записан как f: A→. В. В дальнейшем, если хϵА и хfу, мы будем обозначать это соотношение следующим образом:

f: х→у.

Это обозначение часто используют для того, чтобы описать правило, определяющее функцию (если оно существует).

Пример 1.1. Функция f: А→А, где А = {-1, 0, 1}, определяется соотношением f: x → x³. //

Даже когда f не является отображением (см. ниже), мы часто будем использовать фразы типа «f отображает х в х³». Понятия области определения и области значений в данном случае содержательны, поскольку функция является отношением, однако следует заметить, что обратная функция может не существовать.

Пример 1.2. На множестве {-1, 0, 1} отношение f: х → х² является функцией, но обратной функции не существует, поскольку f^-1(1)={-1,1}. //

Определение. Функция f: А → В является отображением, если ее область определения совпадает с А, т. е. 𝕯₁=A. Функции, не являющиеся отображениями, называют частичными. Отображение на множество называют трансформацией (преобразованием).

Замечание. Часто терминология отличается от принятой в этой книге, особенно в американских книгах. Термины «функция» и «отображение» иногда используют как синонимы, а отображение в том смысле, как мы его определили, называют полной функцией.

Конечно, каждая функция может рассматриваться как отображение на своей области определения; иногда это полезно, когда строятся сложные функции. Как мы увидим в последующих параграфах, исследовать свойства функций легче в тех случаях, если на функцию наложить некоторые условия.

Функция f: А→R называется функцией, принимающей действительные значения, а функция, область определения которой совпадает с R, называется вещественной.

Рассмотрим ограничения, которые помогут нам понять, что происходит с отдельными элементами в результате применения к ним функций. Будем заниматься классификацией функций, определенных на множествах, и предполагать, что мы имеем мало информации об этих множествах. Далее будут рассмотрены функции на множествах, где определены такие операции, как сложение.

Определение. Функция f: А→В называется сюръективной (на), если R₁ = В. Это означает, что для данного b ϵ В имеем f^-1(b)≠ø. Функция f: А→ В является инъективной, если из а₁, a₂ϵA и f (a₁)=f(a₂) следует, что a₁=a₂. //

Итак, если f: А→В и f сюръективна, то для любого bϵB имеем f^-1(b)ϵR(A)\ø. Это может быть проинтерпретировано следующим образом: каждая точка из В является «острым концом» по крайней мере одной f-стрелы, выходящей из А. Проиллюстрировать эту ситуацию достаточно трудно (исключая тривиальные случаи).

С другой стороны, наглядную характеристику инъек-тивности легко дать в виде ограничения или запрета.

Функция f не инъективна в случае, изображенном на рис. 3.1, a.

Для сравнения на рис. 3.1, b изображено зеркальное отражение, которое отличает функцию от бинарного отношения.

Если f: А → В инъективна и aϵ𝕯₁, то a = f ^-1(f (а)). Далее, если b ϵ R₁, т. е. и в данном случае f ^-1— функция, то b= f(f ^-1(b)).

Следовательно, если мы определим функцию I_x: X→X как тождественное отображение на X, т. е. I_x: x→x для всех xϵx, тогда, если f инъективна, то

Используя функцию f из примера 1.2, мы видим, что Это означает, что первое из этих тождеств в общем случае неверно, однако, как мы увидим в § 2, вычисления становятся гораздо легче в случаях, когда оба тождества имеют место. Прежде чем продолжить изложение, обсудим терминологию, объединяющую введенные выше свойства. Функция f биективна, если она сюръективна и инъективна. Биективное отображение называют биекцией. Следовательно, используя биекцию f между А и В, можно брать элементы из А и переходить в В посредством f, осуществляя некоторые вычисления. Переход назад к А осуществляется посредством .

Термины инъекции и сюръекции также применяются (для описания инъективного и сюръективного отображений), однако мы редко будем их использовать.

Упражнение 3.1.

Какие из указанных ниже отношений на множестве {-10, -9, …, 0, 1, …, 9, 10} являются функциями? Дать противоречащие примеры в случаях, когда отношение не является функцией. (В 3.1, 1г) отношение порядка ≤ является отношением, индуцированным Z. В 3.1, 1а)—к) |x| определяется следующим образом: |х| = х, если х ≥ 0, и | х| = —х, если х < 0.)