2.3. Розы

О п р е д е л е н и е 11. Розы – плоские кривые, уравнения которых в полярных координатах имеют вид: , где и - постоянные (рис.7).

Рис. 7

Вся кривая расположена внутри круга радиуса а, состоит из конгруэнтных лепестков. Если: а) k - нечетное число, роза состоит из k лепестков; б) k -

четное число, роза состоит из 2k лепестков; в) k = m/n, n > 1, - рациональное число, роза состоит из m лепестков когда m и n нечетные и из 2m лепестков, если одно из этих чисел четное (при этом каждый следующий лепесток частично покрывает предыдущий); г) k - иррациональное число, роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Т а б л и ц а 2

Расположение розы

Уравнение в ПСК	Чертеж
1.
2.

2.4. Кардиоида

О п р е д е л е н и е 12. Кардиоида ( от греческого - сердце и - вид) - плоская алгебраическая кривая 4-го порядка, уравнение в полярных координатах .

Кардиоида описывается точкой М окружности радиуса а, катящейся по окружности с таким же радиусом. Кардиоида симметрична относительно оси Ох (рис.8).

Рис. 8

Т а б л и ц а 3

Расположение кардиоиды

Уравнение в ПСК	Схематический чертеж	Уравнение в ПСК	Схематический чертеж
1.		2.
3.		4.

2.5. Лемниската Бернулли

О п р е д е л е н и е 13. Лемниската Бернулли (от лат. lemniscatus - украшенный лентами) – плоская алгебраическая кривая 4-го порядка, уравнение в ПСК - (рис 9).

П роизведение расстояний каждой точки М лемнискаты Бернулли до двух данных точек и (фокусов) равно квадрату половины расстояния между и . Кривая симметрична относительно осей и начала координат. Впервые была рассмотрена Я. Бернулли (1694).

Т а б л и ц а 4

Расположение лемнискаты

Уравнение в ДПСК	Уравнение в ПСК	Чертеж
1.
2.

2.6 Правило построения кривых в полярной системе координат

Построение кривых в ПСК можно осуществлять по точкам следующим образом:

1. Найти пределы изменения полярного угла, решая неравенство (так как - расстояние, всегда величина положительная). При его решении пользуемся таблицей 3.

2. Если функция периодическая, то необходимо выбрать главные значения углов, т.е. или , в противном случае .

3. Составить таблицу значений и : будем давать значения полярному углу через произвольный промежуток и вычислять соответствующее значение , подставляя в функцию .

4. По таблице построить точки с полученными координатами .

5. Соединить полученные точки плавной линией. Получили искомую кривую.

Та б л и ц а 5

Решение основных тригонометрических неравенств

Общий случай	Решение	Частный случай	Решение

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ