Полярная система координат. Методические указания для индивидуальной работы студентов первого курса /Л.В. Авилова, Л.В. Долгова; омский гос. ун-т путей сообщения. Омск,

Соответствует действующей программе курса для технических вузов, содержат краткие теоретические сведения о полярных координатах и их связь с декартовыми прямоугольными координатами. Рассмотрены некоторые линии в полярной системе координат. Представлены задания типового расчета , тридцать вариантов.

Приведены примеры решения стандартных задач, задания для самостоятельной работы.

Предназначены для студентов первого курса всех специальностей очной и заочной форм обучения.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Прямоугольная система координат

Полярная система координат

Полярные координаты точек на плоскости

Связь между прямоугольными декартовыми и полярными координатами.

Некоторые линии в полярной системе координат.

Окружность

Спираль Архимеда

Кардиоида

Лемниската Бернулли

Роза

Задания для самостоятельной работы

Варианты типового расчета «Полярная система координат

Примеры выполнения заданий типового расчета

Дополнительные задания

Введение

1. Полярная система координат

1.1. Прямоугольная система координат на плоскости

О п р е д е л е н и е 1. Под прямоугольной системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости.

Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат (ДПСК).

О п р е д е л е н и е 2. ДПСК на плоскости определяется:

1 ) точка О - начало координат, точка пересечения координатных осей;

2) оси координат - две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано положительное направление;

3) единица масштаба - единичный отрезок. Обозначают Оху (рис.1). При этом горизонтальную ось ОХ, направленную слева направо, называют осью абсцисс. Вертикальную ось ОУ, направленную снизу вверх, называют осью ординат.

О п р е д е л е н и е 3. Плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Оси координат делят координатную плоскость на четыре области – четверти (или квадранты). Единичный отрезок выбирают произвольно, одинаковым для обеих осей.

Взяв произвольную точку М на координатной плоскости (рис.1), найдем её проекции P и Q на координатные оси. Отрезок OP на оси абсцисс, а также число х, измеряющее его в избранном масштабе, называется абсциссой точки М; отрезок OQ на оси ординат, а также измеряющее его число у – ординатой точки М. Величины х = OP, у = OQ называют прямоугольными координатами точки М и обозначают М (х;у).

Числа х и у полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот, каждой точке М плоскости соответствует одна пара чисел х, у.

Прямоугольная система координат называется декартовой по имени французского философа и математика Рене Декарта (1596-1650), широко применявшего координаты к исследованию многих геометрических вопросов.

1.2. Полярные координаты точек на плоскости

Кроме ДПСК существуют и другие системы координат, позволяющие определить положение точки на плоскости с помощью пары действительных чисел.

Р ассмотрим систему координат, когда отношения между точками плоскости проще изобразить в виде радиусов и углов, называемой полярной системой координат (ПСК) (рис.2).

О п р е д е л е н и е 4. Полярная система координат на плоскости задается (определяется) следующим образом (рис. 3):

1. Точка О – начало координат, называется полюсом;

2. Полуось (луч) ОР, исходящая из точки О, называемая полярной осью.

3. Единица масштаба, отрезок ОЕ (любой выбранной длины).

О п р е д е л е н и е 5. Полярным радиусом (r) любой точки М (отличной от полюса О) плоскости, называется её расстояние от полюса О, т.е. длина отрезка ОМ (ОМ = ρ).

О п р е д е л е н и е 6. Полярным углом точки М называется угол наклона направленного отрезка ОМ к полярной оси (т.е. )

О п р е д е л е н и е 7. Числа и , т.е. полярный радиус и полярный угол точки М, называются её полярными координатами и обозначают М . На рисунке 2 изображены точки .

Замечания

1. , так как - расстояние, величина положительная.

2. Е

   Рис.3

   сли полярный угол , то он откладывается против часовой стрелки, а если , то по ходу часовой стрелки.

3. Так как точка плоскости при повороте её вокруг полюса на 36⁰⁰ возвращается в прежнее положение, то измерение полярного угла можно рассматривать и . Обычно в качестве полярных углов берут так называемые главные их значения, определяемые равенствами: или .

4. Для точки О (полюса): , а угол не определен. Если , то точка М совпадает с полюсом.

5. В некоторых случаях ограничения , накладываемые на положительный радиус точек, оказываются по ряду причин неудобным. Тогда можно допустить значение , понимая при этом под точкой – точку . Угол характеризует направление полярного радиуса, прямо противоположное тому, которое соответствует углу . Тогда искомая точка рисуется не на луче, образующем угол с полярной осью, а на продолжении этого луча в противоположном направлении на расстоянии от полюса. Например, точке будет соответствовать точка (рис. 4).