ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Прямая на плоскости: виды уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Параметрические уравнения прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Каноническое уравнение прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Общее уравнение прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Уравнение прямой «с угловым коэффициентом» . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Особые случаи расположения прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . 1.8. Построение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости «в отрезках». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Нормальное уравнение прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Полярные параметры прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Прямые на плоскости: взаимное расположение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой . . . . . . . . . 2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Пучок прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Угол между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. . . . . . . . . . 2.7. Точка пересечения непараллельных прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Варианты типового расчета «Прямая на плоскости» . . . . . . . . . . . . . 3.2. Примеры выполнения заданий типового расчета . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Творческое задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 10 11 11 11 12 12 13 13 14 14 23 28 32 38

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания содержат краткие теоретические сведения по теме «Прямая на плоскости» из курса аналитической геометрии.

Цель данных указаний – помочь первокурсникам в изучении одного из основных геометрических объектов – прямую на плоскости. Для большей геометрической наглядности исходное уравнение прямой на плоскости дано в векторной форме. Учитывая, что студенты не всех специальностей изучают векторную алгебру достаточно подробно, параллельно векторному изложению приведено и координатное. В методических указаниях использованы формулы из классического справочника по высшей математике М. Я. Выгодского.

Задания типового расчета подобраны таким образом, что их выполнение обеспечивает закрепление навыков решения стандартных задач: определение по виду уравнений положения прямых на координатной плоскости относительно осей координат и друг друга, составление различных видов уравнений прямой на плоскости, вычисление угла между прямыми и расстояния от точки до прямой.

При выполнении шестого задания типового расчета у студентов вырабатывается навык построения на координатной плоскости области, соответствующей заданной системе условий, что необходимо для успешного освоения других разделов высшей математики.

Часть задач типового расчета подобрана из задачников или редких изданий. К сложным заданиям даны ответы. Приведены примеры решения задач из предлагаемого студентам типового расчета.

Авторы выражают благодарность доцентам Т. А. Филимоновой и Р. А. Радченко, старшему преподавателю И. П. Ефремовой за ценные советы по содержанию данных методических указаний и доценту С. В. Окишеву, предоставившему часть задач для типового расчета.

1. Прямая на плоскости: виды уравнений

1.1. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору

Пусть – фиксированная точка плоскости, – ненулевой вектор. Тогда уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку параллельно вектору (рис. 1), в векторной форме запишется так:

(1)

где параметр принадлежит множеству действительных чисел; – произвольная точка этой прямой; – (в данном случае) направляющий вектор полученной прямой.

Рис. 1

1.2. Параметрические уравнения прямой на плоскости

Перепишем уравнение (1) в координатной форме:

(1а)

Выполнив элементарные преобразования, получим параметрические уравнения прямой:

(2)

1.3. Каноническое уравнение прямой на плоскости

Исключив из системы уравнений (2) параметр t, получим каноническое уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку параллельно вектору

(3)

1.4. Уравнение прямой на плоскости,

проходящей через две заданные точки

Предположим, что на плоскости заданы две различные точки: и В этом случае вектор будет направляющим вектором единственной прямой, проходящей через две заданные точки, каноническое уравнение такой прямой запишем в виде:

(4)

1.5. Общее уравнение прямой на плоскости

Используя свойство пропорции, преобразуем уравнение (4):

(4а)

Раскроем скобки и перепишем уравнение (4а), введя следующие обозначения: в результате чего получим:

Ax + By + C = 0.

(5)

Утверждение 1. Если в уравнении (5) или то уравнение (5) на плоскости определяет некоторую прямую и называется при этом общим уравнением прямой на плоскости.

1.6. Уравнение прямой «с угловым коэффициентом»

Из общего уравнения прямой (5) легко получить уравнение вида

(6)

т. е. уравнение прямой на плоскости «с угловым коэффициентом », где tg ( – угол, образованный данной прямой с положительным направлением оси абсцисс). Величина b в уравнении (6) называется начальной ординатой, так как это число по абсолютной величине равно длине отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. Если прямая проходит через начало координат то

1.7. Особые случаи расположение прямой на плоскости

Исследуем общее уравнение прямой (5):

1) при прямая проходит через начало координат;

2) при прямая параллельна оси Ох;

3) при прямая параллельна оси Оу;

4) при получаем уравнение оси Оу;

5) при получаем уравнение оси Ох.

1.8. Построение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости «в отрезках»

Помимо известных способов построения прямой на плоскости – по двум точкам, по данной точке и «наклону» прямой – удобно пользоваться так называемым уравнением прямой «в отрезках» на координатных осях:

(7)

которое может быть составлено для любой прямой, не проходящей через начало координат.

Пример. Построить прямую, заданную уравнением «в отрезках» на осях: Решение. (рис. 2).

Рис. 2