§ 7. Квадратичные формы.

Квадратичной формой (кратко ) от -переменных называется однородный многочлен второй степени: , где . Квадратичную форму всегда можно записать в матричном виде: , где - матрица квадратичной формы (являющаяся симметрической, так как выполняется условие ), - матрица-столбец, - матрица-строка, составленные из переменных .

Квадратичная форма называется невырожденной, если её матрица - невырожденная. Квадратичная форма называется канонической, если она имеет вид: .

Всякую квадратичную форму всегда можно привести к канонической, например, методами Лагранжа и ортогональных преобразований.

Метод Лагранжа состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Если в квадратичной форме все коэффициенты ( ), а коэффициент ( ), то, до выделения полных квадратов, в квадратичной форме следует перейти к новым переменным по формулам: .

Метод ортогональных преобразований состоит в приведении формы к каноническому виду , где - собственные числа матрицы квадратичной формы. Такое приведение осуществляется с помощью ортогонального преобразования , где - ортогональная матрица, столбцами которой служат ортонормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы; - матрицы-столбцы переменных квадратичной формы.

Квадратная матрица называется ортогональной, если её столбцы представляют ортонормированную систему векторов (длина каждого вектора равна единице, все попарные скалярные произведения векторов равны нулю). Квадратная матрица будет ортогональной, тогда и только тогда, когда: .

Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимости от множества их значений. Квадратичная форма называется:

положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполняется неравенство ( ); неотрицательно (неположительно) определённой, если для любого выполняется неравенство ( ), причём существует , для которого ; знакопеременной (или неопределённой), если существуют такие и , что и .

Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительно определённой, либо отрицательно определённой, либо знакопеременной. Тип невырожденной квадратичной формы можно определить, проверяя знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Пусть , где - матрица квадратичной формы. Главными минорами матрицы называются миноры порядка ( ), составленные из первых строк и первых столбцов матрицы: , ,…, .

Одним из критериев знакоопределённости невырожденной квадратичной формы является критерий Сильвестра:

- квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны, т.е. , , , ;

- квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда для всех главных миноров её матрицы выполняются неравенства: , , , , (все миноры нечётного порядка отрицательны, а чётного – положительны) ;

- квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда для главных миноров её матрицы выполняется хотя бы одно из условий: один из главных миноров равен нулю, один из главных миноров чётного порядка отрицателен, два главных минора нечётного порядка имеют разные знаки.

1.167 Записать матрицу следующих квадратичных форм:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В задачах 1.168-1.173 методом Лагранжа найти: а) канонический вид квадратичной формы; б) невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду.

1.168 .

1.169 .

1.170 .

1.171 .

1.172 .

1.173 .

В задачах 1.174-1.179 найти ортогональное преобразование, приводящее следующие квадратичные формы к каноническому виду, и записать полученный канонический вид.

1.174 .

1.175 .

1.176 .

1.177 .

1.178 .

1.179 .

В задачах 1.180-1.185 определить, используя критерий Сильвестра, какие квадратичные формы являются либо положительно, либо отрицательно определенными, а какие нет.

1.180 . 1.181 .

1.182 .

1.183 .

1.184 .

1.185 .

1.186 Найти, используя критерий Сильвестра, все значения параметра , при которых квадратичная форма является положительно определенной:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.187 Найти, используя критерий Сильвестра, все значения параметра , при которых квадратичная форма является отрицательно определенной:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .