§4. Системы линейных уравнений.

…Система уравнений вида: называется системой линейных уравнений с неизвестными. В матричной форме система имеет вид: , где , , . Здесь -матрица системы, -матрица-столбец неизвестных, - матрица-столбец свободных членов. Если , где - нулевая матрица-столбец (все её элементы равны нулю), то система называется однородной, в противном случае неоднородной.

Если в системе и определитель матрицы системы (т.е. матрица имеет обратную ), то система имеет единственное решение, определяемое:

а) по формулам Крамера: , , где - определитель, получаемый из определителя системы заменой -ого столбца на столбец свободных членов;

б) методом обратной матрицы по формуле .

Решение произвольной системы уравнений находят методом Гаусса. Для этого составляют расширенную матрицу системы , приписывая к матрице системы справа столбец свободных членов . Затем расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов приводят к специальному виду: . Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то исходная система уравнений несовместна; если , то система совместна. Совместная система имеет единственное решение, если , и бесконечное множество решений, если . Считая базисными неизвестными, -свободными, бесконечное множество решений записывают в виде общего решения, придавая свободным неизвестным произвольные значения: и выражая базисные неизвестные через свободные.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы (при это условие означает: ).

Если , то однородная система имеет линейно независимых частных решений: , называемых её фундаментальной системой решений. Общее решение однородной системы имеет вид , где -произвольные постоянные. Решения , образующие фундаментальную систему решений, можно получить, если в общем решении однородной системы свободным неизвестным придавать поочерёдно значение , полагая остальные равными .

Общее решение неоднородной системы может быть найдено как сумма общего решения соответствующей однородной системы и произвольного частного решения неоднородной системы: .

В задачах 1.91-1.100 решить системы уравнений:

а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы;

в) методом Гаусса.

1.91 . 1.92 .

1.93 . 1.94 .

1.95 . 1.96 .

1.97 . 1.98 .

1.99 . 1.100 .

В задачах 1.101-1.114 решить системы уравнений методом Гаусса.

1.101 . 1.102 .

1.103 . 1.104 .

1.105 . 1.106 .

1.107 . 1.108 .

1.109 .

1.110 .

1.111 .

1.112 .

1.113 .

1.114 .

В задачах 1.115-1.118 найти фундаментальную систему решений и общее решение однородных систем уравнений.

1.115 . 1.116 .

1.117 . 1.118 .

В задачах 1.119-1.122 найти общие решения неоднородных систем, используя фундаментальную систему решений соответствующих однородных.

1.119 .

1.120 .

1.121 .

1.122 .