- •Глава 1. Линейная алгебра.
- •§ 1. Определители.
- •§ 2. Матрицы.
- •§3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы.
- •§4. Системы линейных уравнений.
- •§ 5. Ортогональные системы векторов.
- •§ 6. Линейные операторы.
- •§ 7. Квадратичные формы.
- •§ 8. Системы линейных уравнений и неравенств.
- •Глава 2. Векторная алгебра.
- •§1. Линейные операции над векторами.
Глава 1. Линейная алгебра.
§ 1. Определители.
Квадратной матрицей порядка называется квадратная таблица из чисел ( , ): , состоящая из строк и столбцов. Любой квадратной матрице порядка можно поставить в соответствие число , равное алгебраической сумме слагаемых, составленных определённым образом из элементов матрицы , называемое определителем матрицы.
Определителем 1-ого порядка называется число .
Определителем 2-ого порядка называется число
.
Определителем 3-его порядка называется число
Минором элемента определителя называется определитель , полученный из данного вычёркиванием -ой и -ого столбца. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор , взятый со знаком : .
Определителем порядка называется число
Разложением определителя по -ой строке ( ) называется соотношение: .
Разложением определителя по -ому столбцу ( ) называется соотношение:
Определители обладают свойствами:
1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;
2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);
5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;
6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов.
В задачах 1.1-1.4 вычислить определители 2-го порядка.
1.1 . 1.2 . 1.3 . 1.4 .
В задачах 1.5-1.8 вычислить определители 3-го порядка.
1.5 . 1.6 . 1.7 . 1.8 .
1.9 Решить уравнение.
а) ; б) ; в) .
1.10 Решить неравенство.
а) ; б) ; в) .
В задачах 1.11-1.12, используя свойства определителя, доказать тождества (определители не развертывать).
1.11 .
1.12 .
В задачах 1.13-1.16 вычислить определители, используя их свойства
1.13 . 1.14 .
1.15 . 1.16 .
1.17 Проверить, что определитель делится на и
В задачах 1.18-1.23 вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:
1.18 . 1.19 . 1.20 . 1.21 .
1.22 . 1.23 .
В задачах 1.24-1.29 вычислить определители
1.24 . 1.25 . 1.26 .
1.27 . 1.28 . 1.29 .
§ 2. Матрицы.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел ( , ): , состоящая из строк и столбцов. Если необходимо указать её размер, то пишут .
Матрицы и называются равными и пишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны:
, , .
Транспонированной к матрице называется матрица , столбцами которой являются соответствующие строки матрицы .
Суммой (разностью) матриц и одного размера , называется матрица того же размера, для которой:
, , .
Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, для которой: , , .
Линейной комбинацией матриц и одного размера , называется матрица того же размера ( и - произвольные числа), для которой: , , ,
Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой вычисляется по правилу: , , .
Вообще говоря, .
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
4) вычёркивание нулевой строки (столбца).
Матрицы и , полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентными и пишут ~ .
Обратной к квадратной матрице называется матрица того же порядка такая, что: , где - единичная матрица (на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц. Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель .
Основными методами вычисления обратной матрицы являются:
Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то , где - присоединённая матрица, для которой: . Здесь - алгебраические дополнения элементов матрицы .
Метод элементарных преобразований. Для матрицы порядка строится прямоугольная матрица размера приписыванием к справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица приводится к виду , что всегда возможно, если -невырожденная.
Матричными называются уравнения: , , , где матрицы - известны, матрица - неизвестна. Если матрицы , -невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде: , , .
В задачах 1.30-1.31 найти линейные комбинации матриц:
1.30 .
1.31 .
В задачах 1.32-1.35 умножить матрицы:
1.32 а) ; б) .
1.33 а) ; б) .
1.34 а) ; б) ;
в) ; г) .
1.35 а) ; б) .
1.36 Выполнить действия над матрицами
а) ;
б) .
1.37 Вычислить а) ; б) .
В задачах 1.38-1.40 найти значение многочлена от матрицы
1.38 , .
1.39 , .
1.40 , .
В задачах 1.41-1.42 вычислить .
1.41 , .
1.42 , .
В задачах 1.43-1.44 вычислить для заданных матриц .
1.43 . 1.44 .
В задачах 1.45-1.52 найти обратную матрицу для матриц:
1.45 . 1.46 . 1.47 .
1.48 . 1.49 . 1.50 .
1.51 . 1.52 .
В задачах 1.53-1.58 решить матричные уравнения.
1.53 . 1.54 .
1.55 . 1.56 .
1.57а) ; б) .
1.58а) ; б) .